Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una población, el tanto por ciento de personas que ven un cierto programa de televisión es del 40 %. Se sabe que el 60 % de las personas que lo ven tienen estudios superiores y que el 30 % de las personas que no lo ven no tienen estudios superiores.

a) Interprete los datos proporcionados en términos de sucesos, probabilidades y probabilidades condicionadas. [2 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga estudios superiores? [4 puntos]

c) Encuentre la probabilidad de que una persona que tenga estudios superiores vea el citado programa. [4 puntos]

$\textbf{a) Interprete los datos proporcionados en términos de sucesos, probabilidades y probabilidades condicionadas. [2 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$V \equiv$ la persona ve el programa,

$S \equiv$ la persona tiene estudios superiores.

El primer dato es la probabilidad de ver el programa, y de ella se deduce la del contrario.

$P(V)=0{,}40 \Rightarrow P(\overline{V})=1-0{,}40=0{,}60$

El segundo dato, «el 60 % de las personas que lo ven tienen estudios superiores», es una probabilidad condicionada: se refiere solo a los que ven el programa.

$P(S/V)=0{,}60 \Rightarrow P(\overline{S}/V)=1-0{,}60=0{,}40$

El tercero también es condicionada, ahora entre los que no lo ven, y está dada sobre el suceso contrario.

$P(\overline{S}/\overline{V})=0{,}30 \Rightarrow P(S/\overline{V})=1-0{,}30=0{,}70$

Hacemos un diagrama de árbol con las dos etapas: primero si ve el programa y después si tiene estudios superiores.



$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga estudios superiores? [4 puntos]}$

Los sucesos $V$ y $\overline{V}$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total: se recorren las dos ramas que acaban en «estudios superiores» y se suman sus productos.

$P(S)=P(V)\cdot P(S/V)+P(\overline{V})\cdot P(S/\overline{V})$

$P(S)=0{,}40\cdot 0{,}60+0{,}60\cdot 0{,}70=0{,}24+0{,}42=0{,}66$

La probabilidad de que una persona tenga estudios superiores es de $0{,}66$, es decir, un 66 %.

$\textbf{c) Encuentre la probabilidad de que una persona que tenga estudios superiores vea el citado programa. [4 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Utilizamos el teorema de Bayes.

$P(V/S)=\dfrac{P(V\cap S)}{P(S)}=\dfrac{P(V)\cdot P(S/V)}{P(S)}$

$P(V/S)=\dfrac{0{,}40\cdot 0{,}60}{0{,}66}=\dfrac{0{,}24}{0{,}66}=\dfrac{24}{66}=\dfrac{4}{11}$

$P(V/S)=\dfrac{4}{11}\approx 0{,}3636$

La probabilidad de que una persona con estudios superiores vea el programa es de $4/11\approx 0{,}3636$, es decir, un 36,36 %. Es algo menos que el 40 % de partida, lo que era previsible: entre los que no ven el programa la proporción de titulados superiores es más alta (70 %) que entre los que sí lo ven (60 %).