Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

Los beneficios semanales de una empresa expresados en euros, cuando fabrica y vende $x$ objetos, se ajustan a la función

$B(x) = -0{,}75x^2 + 75x - 1200, \qquad \text{en que } 20 \le x \le 80.$

a) Calcule el beneficio que obtiene al fabricar y vender 20 objetos. [2 puntos]

b) Encuentre el número de objetos que ha de fabricar y vender para obtener el beneficio máximo, así como este beneficio máximo. [4 puntos]

c) El beneficio medio por $x$ objetos es $M(x) = \dfrac{B(x)}{x}$. Diga cuántos objetos ha de fabricar y vender para que el beneficio medio sea máximo, y cuál es este beneficio. [4 puntos]

$\textbf{a) Calcule el beneficio que obtiene al fabricar y vender 20 objetos. [2 puntos]}$

Basta sustituir $x=20$ en la función de beneficios.

$B(20)=-0{,}75\cdot 20^2+75\cdot 20-1200=-0{,}75\cdot 400+1500-1200$

$B(20)=-300+1500-1200=0$

Con 20 objetos el beneficio es de 0 euros: es justamente el punto en el que la empresa cubre los costes sin ganar nada, y por eso el enunciado empieza el dominio ahí.

$\textbf{b) Encuentre el número de objetos que ha de fabricar y vender para obtener el beneficio máximo, así como este beneficio máximo. [4 puntos]}$

Derivamos la función de beneficios e igualamos a cero.

$B'(x)=-1{,}5x+75$

$B'(x)=0 \Rightarrow -1{,}5x+75=0 \Rightarrow x=\dfrac{75}{1{,}5}=50$

El valor está dentro del intervalo $[20,80]$ que fija el enunciado. Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(x)=-1{,}5 \Rightarrow B''(50)=-1{,}5<0$

$B(50)=-0{,}75\cdot 2500+75\cdot 50-1200=-1875+3750-1200=675$

Ha de fabricar y vender 50 objetos, y el beneficio máximo es de 675 euros.



$\textbf{c) El beneficio medio por } \boldsymbol{x}\textbf{ objetos es } \boldsymbol{M(x) = \dfrac{B(x)}{x}}\textbf{. Diga cuántos objetos ha de fabricar y vender para que el beneficio medio sea máximo, y cuál es este beneficio. [4 puntos]}$

Escribimos la función de beneficio medio dividiendo término a término.

$M(x)=\dfrac{B(x)}{x}=\dfrac{-0{,}75x^2+75x-1200}{x}=-0{,}75x+75-\dfrac{1200}{x}$

Derivamos, escribiendo antes el último término como una potencia.

$M(x)=-0{,}75x+75-1200x^{-1} \Rightarrow M'(x)=-0{,}75+1200x^{-2}=-0{,}75+\dfrac{1200}{x^2}$

$M'(x)=0 \Rightarrow \dfrac{1200}{x^2}=0{,}75 \Rightarrow x^2=\dfrac{1200}{0{,}75}=1600$

$x=\pm 40 \Rightarrow x=40$

Se descarta la solución negativa, y el valor 40 pertenece al intervalo $[20,80]$. Comprobamos con la segunda derivada.

$M''(x)=-2400x^{-3}=-\dfrac{2400}{x^3}$

$M''(40)=-\dfrac{2400}{64\,000}=-0{,}0375<0$

Al ser negativa, se trata de un máximo. Calculamos el beneficio medio.

$M(40)=-0{,}75\cdot 40+75-\dfrac{1200}{40}=-30+75-30=15$

Se comprueba con el beneficio total en ese punto.

$B(40)=-0{,}75\cdot 1600+75\cdot 40-1200=-1200+3000-1200=600 \Rightarrow \dfrac{600}{40}=15$

Ha de fabricar y vender 40 objetos para que el beneficio medio sea máximo, y ese beneficio medio es de 15 euros por objeto. Nótese que no coincide con las 50 unidades del apartado b): con 50 objetos se gana más en total, 675 euros, pero menos por objeto, $675/50=13{,}5$ euros.