Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un taller de joyería dispone de 150 gramos de plata y de 180 horas de trabajo para producir dos modelos de anillos. Para hacer un anillo del modelo A hacen falta 6 gramos de plata y 3 horas de trabajo, mientras que para hacer uno del modelo B hacen falta 2 gramos de plata y 6 horas de trabajo. Los anillos de los modelos A y B proporcionan, respectivamente, 35 y 55 euros de beneficio por unidad.

a) Plantee la maximización del beneficio de la joyería como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Sabiendo que se venderá toda la producción, determine cuántos anillos de cada modelo hay que producir para obtener el máximo beneficio e indique cuál es este beneficio. [2 puntos]

$\textbf{a) Plantee la maximización del beneficio de la joyería como un problema de programación lineal. [4 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de anillos del modelo A e $y$ al número de anillos del modelo B.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Plata (g)}$	$\text{Horas}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Modelo A } (x)$	$6x$	$3x$	$35x$ $\text{Modelo B } (y)$	$2y$	$6y$	$55y$ $\text{Disponible}$	150	180	$$

La función objetivo es el beneficio, y hay que maximizarla.

$B(x,y)=35x+55y$

Las restricciones son la plata y las horas de trabajo.

Hay 150 gramos de plata $\Rightarrow$ $6x+2y\leq 150$, que dividiendo entre 2 queda $3x+y\leq 75$.

Hay 180 horas de trabajo $\Rightarrow$ $3x+6y\leq 180$, que dividiendo entre 3 queda $x+2y\leq 60$.

El número de anillos no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

$\text{Maximizar } B(x,y)=35x+55y \quad\text{sujeto a}\quad \begin{cases} 3x+y\leq 75 \\ x+2y\leq 60 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]}$

Dibujamos las dos rectas con una tabla de valores de cada una.

$3x+y=75$	$x+2y=60$ $(0,75)$	$(0,30)$ $(25,0)$	$(60,0)$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\begin{cases} x+2y=60 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow 2y=60 \Rightarrow y=30 \Rightarrow A(0,30)$

Vértice $B$: $\begin{cases} 3x+y=75 \\ x+2y=60 \end{cases}$ $\Rightarrow$ despejamos $y=75-3x$ y sustituimos:

$x+2(75-3x)=60 \Rightarrow x+150-6x=60 \Rightarrow -5x=-90 \Rightarrow x=18$

$y=75-54=21 \Rightarrow B(18,21)$

Vértice $C$: $\begin{cases} 3x+y=75 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow 3x=75 \Rightarrow x=25 \Rightarrow C(25,0)$

El punto $(60,0)$, donde la recta de las horas corta el eje de abscisas, no es vértice del recinto: con 60 anillos del modelo A harían falta 360 gramos de plata y solo hay 150.

$\textbf{c) Sabiendo que se venderá toda la producción, determine cuántos anillos de cada modelo hay que producir para obtener el máximo beneficio e indique cuál es este beneficio. [2 puntos]}$

Valoramos la función beneficio en los cuatro vértices.

$O(0,0) \Rightarrow B=0$

$A(0,30) \Rightarrow B=55\cdot 30=1650$

$B(18,21) \Rightarrow B=35\cdot 18+55\cdot 21=630+1155=1785$

$C(25,0) \Rightarrow B=35\cdot 25=875$

Hay que producir 18 anillos del modelo A y 21 del modelo B, y el beneficio máximo es de 1785 €. Con esa combinación se agotan los dos recursos: $6\cdot 18+2\cdot 21=108+42=150$ gramos de plata y $3\cdot 18+6\cdot 21=54+126=180$ horas de trabajo.