Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$,

a) Calcule $A^2$ y $A^3$. [2 puntos]

b) Proponga una fórmula para $A^n$ y utilícela para calcular $A^{14}$. [4 puntos]

c) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X + \dfrac{1}{5}B^{t} \cdot B = 2A$, donde $B^{t}$ denota la matriz traspuesta de $B$. [4 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{A^2}\textbf{ y } \boldsymbol{A^3}\textbf{. [2 puntos]}$

Multiplicamos la matriz por sí misma.

$A^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1+1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Y ahora $A^3=A^2\cdot A$.

$A^3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2+1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{b) Proponga una fórmula para } \boldsymbol{A^n}\textbf{ y utilícela para calcular } \boldsymbol{A^{14}}\textbf{. [4 puntos]}$

Comparando las tres potencias se ve el patrón: la matriz no cambia salvo el elemento de la posición $a_{21}$, que va tomando el valor del exponente.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad A^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},\quad A^3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}$

La fórmula se justifica comprobando que al pasar de un exponente al siguiente se cumple, que es lo que hace el paso de inducción.

$A^{n}\cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n+1 & 1 \end{pmatrix}=A^{n+1}$

Aplicándola con $n=14$:

$A^{14}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 14 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{c) Resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{A \cdot X + \dfrac{1}{5}B^{t} \cdot B = 2A}\textbf{, donde } \boldsymbol{B^{t}}\textbf{ denota la matriz traspuesta de } \boldsymbol{B}\textbf{. [4 puntos]}$

Primero se despeja $X$ con las propiedades de las matrices. La matriz $A$ multiplica por la izquierda, así que su inversa entra también por la izquierda.

$A\cdot X=2A-\dfrac{1}{5}B^{t}B \Rightarrow X=A^{-1}\left(2A-\dfrac{1}{5}B^{t}B\right)$

Calculamos las piezas que hacen falta. La traspuesta de $B$ y su producto:

$B^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow B^{t}B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1+4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$\dfrac{1}{5}B^{t}B=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{2}{5} \\[4pt] \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix}$

$2A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow 2A-\dfrac{1}{5}B^{t}B=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{5} \\[4pt] \dfrac{8}{5} & \dfrac{9}{5} \end{pmatrix}$

Ahora la inversa de $A$. Su determinante vale 1, así que existe.

$|A|=1\cdot 1-0\cdot 1=1 \Rightarrow A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Multiplicamos y obtenemos $X$.

$X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{5} \\[4pt] \dfrac{8}{5} & \dfrac{9}{5} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{5} \\[4pt] -1+\dfrac{8}{5} & \dfrac{2}{5}+\dfrac{9}{5} \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{5} \\[4pt] \dfrac{3}{5} & \dfrac{11}{5} \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida.

$A\cdot X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{5} \\[4pt] \dfrac{3}{5} & \dfrac{11}{5} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{5} \\[4pt] \dfrac{8}{5} & \dfrac{9}{5} \end{pmatrix}$

$A\cdot X+\dfrac{1}{5}B^{t}B=\begin{pmatrix} 1+1 & -\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5} \\[4pt] \dfrac{8}{5}+\dfrac{2}{5} & \dfrac{9}{5}+\dfrac{1}{5} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}=2A$