Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una población una variable aleatoria sigue una ley normal con desviación típica 8. Se ha elegido, al azar, una muestra de tamaño 100 y su media ha sido 67.

a) Calcule el intervalo de confianza del 93 % para la media de la población. [5 puntos]

b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar, con un nivel de confianza del 99 %, la media de la población con un error no superior a 2? [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el intervalo de confianza del 93 \% para la media de la población. [5 puntos]}$

La población es normal con desviación típica conocida $\sigma=8$, así que la media de una muestra de tamaño $n=100$ se distribuye así:

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),\qquad \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{8}{\sqrt{100}}=\dfrac{8}{10}=0{,}8$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Buscamos el valor crítico para una confianza del 93 %.

$1-\alpha=0{,}93 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}035 \Rightarrow P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=0{,}965$

$z$	$P(Z\leq z)$ 1,80	0,9641 1,81	0,9649 1,82	0,9656

El valor más próximo a 0,965 es 0,9649, así que tomamos $z_{\alpha/2}=1{,}81$.

$E=1{,}81\cdot 0{,}8=1{,}448$

$IC=(67-1{,}448,\ 67+1{,}448)=(65{,}552,\ 68{,}448)$

Con una confianza del 93 %, la media de la población está entre 65,552 y 68,448.



$\textbf{b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar, con un nivel de confianza del 99 \%, la media de la población con un error no superior a 2? [5 puntos]}$

Ahora el valor crítico corresponde a una confianza del 99 %.

$1-\alpha=0{,}99 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}005 \Rightarrow P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=0{,}995$

$z$	$P(Z\leq z)$ 2,57	0,9949 2,58	0,9951

El valor 0,995 cae entre las dos filas, de modo que se toma el punto medio.

$z_{\alpha/2}=\dfrac{2{,}57+2{,}58}{2}=2{,}575$

Imponemos que el error no pase de 2 y despejamos $n$.

$z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 2 \Rightarrow 2{,}575\cdot\dfrac{8}{\sqrt{n}}\leq 2$

$\dfrac{20{,}6}{\sqrt{n}}\leq 2 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{20{,}6}{2}=10{,}3$

$n\geq 10{,}3^2=106{,}09$

El tamaño de la muestra ha de ser un número entero mayor o igual que 106,09.

$n=107$

Hay que tomar una muestra de al menos 107 individuos.