Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A \cup B) = 0{,}8$, $P(A^{c}) = 0{,}5$, donde $A^{c}$ denota el suceso complementario del suceso $A$, y $P(A \cap B) = 0{,}3$.

a) Calcule las probabilidades $P(B)$ y $P(A \mid B)$. [5 puntos]

b) Calcule las probabilidades $P(A \cap B^{c})$ y $P(A^{c} \cup B^{c})$. [4 puntos]

c) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? Justifique su respuesta. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule las probabilidades } \boldsymbol{P(B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A \mid B)}\textbf{. [5 puntos]}$

El primer paso es obtener $P(A)$, que sale del complementario.

$P(A)=1-P(A^{c})=1-0{,}5=0{,}5$

Para $P(B)$ se despeja en la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$0{,}8=0{,}5+P(B)-0{,}3 \Rightarrow P(B)=0{,}8-0{,}5+0{,}3=0{,}6$

La probabilidad condicionada se obtiene de su definición.

$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5$

$P(B)=0{,}6 \quad\text{y}\quad P(A/B)=0{,}5$

$\textbf{b) Calcule las probabilidades } \boldsymbol{P(A \cap B^{c})}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A^{c} \cup B^{c})}\textbf{. [4 puntos]}$

El suceso $A$ se descompone según ocurra o no $B$, y esos dos casos son incompatibles.

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})$

$P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}5-0{,}3=0{,}2$

Para la segunda probabilidad se aplican las leyes de De Morgan: la unión de los complementarios es el complementario de la intersección.

$A^{c}\cup B^{c}=(A\cap B)^{c}$

$P\left(A^{c}\cup B^{c}\right)=1-P(A\cap B)=1-0{,}3=0{,}7$

$P(A\cap B^{c})=0{,}2 \quad\text{y}\quad P\left(A^{c}\cup B^{c}\right)=0{,}7$

Con esto queda repartida toda la probabilidad entre las cuatro zonas del espacio muestral.

$P\left(A^{c}\cap B\right)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}6-0{,}3=0{,}3$

$P\left(A^{c}\cap B^{c}\right)=1-P(A\cup B)=1-0{,}8=0{,}2$



$\textbf{c) ¿Son } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ sucesos independientes? Justifique su respuesta. [1 punto]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=0{,}5\cdot 0{,}6=0{,}3$

$P(A\cap B)=0{,}3=P(A)\cdot P(B)$

Sí, los sucesos $A$ y $B$ son independientes. Se ve igual de bien con la condicionada del apartado a): $P(A/B)=0{,}5=P(A)$, es decir, saber que ha ocurrido $B$ no cambia la probabilidad de $A$.