Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

De una función $y = f(x)$ sabemos que su derivada es $f'(x) = 2x^3 - 18x$.

a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $y = f(x)$. [5 puntos]

b) Determine las abscisas de sus extremos relativos y clasifíquelos. [5 puntos]

$\textbf{a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función } \boldsymbol{y = f(x)}\textbf{. [5 puntos]}$

Aunque no se conozca $f$, la monotonía se decide con el signo de su derivada, que sí se da. Empezamos factorizándola para poder estudiar ese signo.

$f'(x)=2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)=2x(x-3)(x+3)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=3 \\ x=-3 \end{cases}$

Los tres puntos críticos parten la recta real en cuatro tramos. Hacemos un estudio de signos con un valor de prueba en cada uno.

$\text{Si } x=-4,\quad f'(-4)=2(-4)(-7)(-1)=-56<0$

$\text{Si } x=-1,\quad f'(-1)=2(-1)(-4)(2)=16>0$

$\text{Si } x=1,\quad f'(1)=2(1)(-2)(4)=-16<0$

$\text{Si } x=4,\quad f'(4)=2(4)(1)(7)=56>0$



La función $f$ es creciente en $(-3,0)\cup(3,+\infty)$ y decreciente en $(-\infty,-3)\cup(0,3)$.

$\textbf{b) Determine las abscisas de sus extremos relativos y clasifíquelos. [5 puntos]}$

Los extremos relativos están en los puntos críticos, y se clasifican mirando cómo cambia el signo de la derivada al pasar por ellos, que es lo que ya se ha hecho en el apartado a).

En $x=-3$ la derivada pasa de negativa a positiva, así que la función pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo.

En $x=0$ la derivada pasa de positiva a negativa, así que la función pasa de crecer a decrecer: hay un máximo relativo.

En $x=3$ la derivada vuelve a pasar de negativa a positiva: hay otro mínimo relativo.

Se puede confirmar con la segunda derivada.

$f''(x)=6x^2-18$

$f''(-3)=54-18=36>0 \Rightarrow \text{mínimo en } x=-3$

$f''(0)=-18<0 \Rightarrow \text{máximo en } x=0$

$f''(3)=54-18=36>0 \Rightarrow \text{mínimo en } x=3$

La función presenta mínimos relativos en $x=-3$ y en $x=3$, y un máximo relativo en $x=0$. No se pueden dar las ordenadas de esos extremos, porque el enunciado solo proporciona la derivada y $f$ queda determinada salvo una constante.