Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Bernat quedó ayer con unos amigos en un bar y tomaron 4 cervezas, 3 bocadillos y 5 cafés con leche. En total les costó 19,50 euros. Días antes, había ido al mismo bar con su primo Martí, y por 2 cervezas, 1 bocadillo y 2 cafés con leche habían pagado 8,10 euros. En este bar todas las cervezas valen lo mismo y todos los bocadillos tienen el mismo precio.

a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [2 puntos]

b) Hoy Bernat ha vuelto con otros amigos y han tomado 2 cervezas, 2 bocadillos y 3 cafés con leche. Combine las ecuaciones del apartado a) para deducir cuánto han pagado en total. [3 puntos]

c) Si 1 cerveza, 1 bocadillo y 1 café con leche cuestan 5,10 euros, ¿cuánto valen la cerveza, el bocadillo y el café con leche por separado? [5 puntos]

$\textbf{a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [2 puntos]}$

Llamamos $c$ al precio de una cerveza, $b$ al de un bocadillo y $f$ al de un café con leche, todos en euros.

La primera visita fue de 4 cervezas, 3 bocadillos y 5 cafés con leche por 19,50 €.

$4c+3b+5f=19{,}50$

La segunda, de 2 cervezas, 1 bocadillo y 2 cafés con leche por 8,10 €.

$2c+b+2f=8{,}10$

$\begin{cases} 4c+3b+5f=19{,}50 \\ 2c+b+2f=8{,}10 \end{cases}$

Hay dos ecuaciones y tres incógnitas, de modo que por ahora el sistema no puede tener solución única: harán falta más datos, que es lo que aporta el apartado c).

$\textbf{b) Hoy Bernat ha vuelto con otros amigos y han tomado 2 cervezas, 2 bocadillos y 3 cafés con leche. Combine las ecuaciones del apartado a) para deducir cuánto han pagado en total. [3 puntos]}$

Lo que se pide es el valor de $2c+2b+3f$, y no hace falta conocer los precios por separado: basta observar que esa combinación es la diferencia de las dos ecuaciones.

$(4c+3b+5f)-(2c+b+2f)=2c+2b+3f$

Restamos entonces los dos importes.

$2c+2b+3f=19{,}50-8{,}10=11{,}40$

Hoy han pagado 11,40 € en total.

$\textbf{c) Si 1 cerveza, 1 bocadillo y 1 café con leche cuestan 5,10 euros, ¿cuánto valen la cerveza, el bocadillo y el café con leche por separado? [5 puntos]}$

El dato nuevo añade la tercera ecuación que faltaba, y conviene usar la del apartado b), que es más cómoda.

$\begin{cases} c+b+f=5{,}10 \\ 2c+b+2f=8{,}10 \\ 2c+2b+3f=11{,}40 \end{cases}$

Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la restamos de la tercera: se van $c$ y $b$ a la vez.

$2(c+b+f)=10{,}20 \Rightarrow (2c+2b+3f)-(2c+2b+2f)=11{,}40-10{,}20$

$f=1{,}20$

Sustituimos en la segunda ecuación.

$2c+b+2\cdot 1{,}20=8{,}10 \Rightarrow 2c+b=8{,}10-2{,}40=5{,}70$

Y en la primera.

$c+b+1{,}20=5{,}10 \Rightarrow c+b=3{,}90 \Rightarrow b=3{,}90-c$

Llevamos esa expresión a la anterior.

$2c+(3{,}90-c)=5{,}70 \Rightarrow c=5{,}70-3{,}90=1{,}80$

$b=3{,}90-1{,}80=2{,}10$

Comprobamos las dos cuentas del enunciado.

$4\cdot 1{,}80+3\cdot 2{,}10+5\cdot 1{,}20=7{,}20+6{,}30+6{,}00=19{,}50$

$2\cdot 1{,}80+2{,}10+2\cdot 1{,}20=3{,}60+2{,}10+2{,}40=8{,}10$

La cerveza vale 1,80 €, el bocadillo 2,10 € y el café con leche 1,20 €.