Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Una almazara recibe cajas de aceitunas de dos productoras, A y B, que cultivan dos variedades, picual y arbequina. El 40 % de las aceitunas proviene de la productora A, y de estas el 60 % es de la variedad picual. De las que provienen de la productora B, el 30 % es de la variedad arbequina. Se elige una caja de aceitunas al azar.

a) Interprete los datos proporcionados en términos de sucesos, probabilidades y probabilidades condicionadas. [2 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad picual? [4 puntos]

c) Si se sabe que es de la variedad picual, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la productora A? [4 puntos]

$\textbf{a) Interprete los datos proporcionados en términos de sucesos, probabilidades y probabilidades condicionadas. [2 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$A \equiv$ la caja proviene de la productora A,

$B \equiv$ la caja proviene de la productora B,

$Pi \equiv$ las aceitunas son de la variedad picual,

$Ar \equiv$ las aceitunas son de la variedad arbequina.

El primer dato es la probabilidad de la productora A, y de ella se deduce la de B, porque las dos productoras cubren todos los casos.

$P(A)=0{,}40 \Rightarrow P(B)=1-0{,}40=0{,}60$

El segundo dato, «de estas el 60 % es de la variedad picual», es una probabilidad condicionada: se refiere solo a las cajas de la productora A.

$P(Pi/A)=0{,}60 \Rightarrow P(Ar/A)=1-0{,}60=0{,}40$

El tercer dato también es condicionada, ahora dentro de la productora B.

$P(Ar/B)=0{,}30 \Rightarrow P(Pi/B)=1-0{,}30=0{,}70$

Hacemos un diagrama de árbol con las dos etapas: primero la productora y después la variedad.



$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad picual? [4 puntos]}$

Los sucesos $A$ y $B$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total: se recorren las dos ramas que acaban en «picual» y se suman sus productos.

$P(Pi)=P(A)\cdot P(Pi/A)+P(B)\cdot P(Pi/B)$

$P(Pi)=0{,}40\cdot 0{,}60+0{,}60\cdot 0{,}70=0{,}24+0{,}42=0{,}66$

La probabilidad de que la caja elegida sea de la variedad picual es de $0{,}66$, es decir, un 66 %.

$\textbf{c) Si se sabe que es de la variedad picual, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la productora A? [4 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Utilizamos el teorema de Bayes.

$P(A/Pi)=\dfrac{P(A\cap Pi)}{P(Pi)}=\dfrac{P(A)\cdot P(Pi/A)}{P(Pi)}$

$P(A/Pi)=\dfrac{0{,}40\cdot 0{,}60}{0{,}66}=\dfrac{0{,}24}{0{,}66}=\dfrac{24}{66}=\dfrac{4}{11}$

$P(A/Pi)=\dfrac{4}{11}\approx 0{,}3636$

Si la caja es de la variedad picual, la probabilidad de que provenga de la productora A es de $4/11\approx 0{,}3636$, es decir, un 36,36 %. Es algo menos que el 40 % de partida, y tiene sentido: la productora B tiene una proporción de picual más alta, de manera que saber que la caja es picual la empuja un poco hacia B.