Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Consideremos una función $f(x)$ tal que su primera derivada es $f'(x) = x^3 + bx + 4$, en la que $b$ es un parámetro real.

a) Determine el valor de $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x = -1$ y razone si se trata de un máximo o de un mínimo. [4 puntos]

b) Suponiendo que $b = 1$, encuentre una primitiva de $f'(x)$, es decir, $\int f'(x)\,dx$. [3 puntos]

c) Utilice la primitiva anterior para encontrar $f(x)$ para $b = 1$ sabiendo que $f(2) = -1$. [3 puntos]

$\textbf{a) Determine el valor de } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga un extremo relativo en } \boldsymbol{x = -1}\textbf{ y razone si se trata de un máximo o de un mínimo. [4 puntos]}$

En un extremo relativo la derivada se anula, así que la condición es $f'(-1)=0$.

$f'(-1)=(-1)^3+b(-1)+4=-1-b+4=3-b$

$3-b=0 \Rightarrow b=3$

Con ese valor la derivada es $f'(x)=x^3+3x+4$. Para clasificar el extremo se usa la segunda derivada, que se obtiene derivando la expresión de $f'$.

$f''(x)=3x^2+3$

$f''(-1)=3\cdot 1+3=6>0$

Al ser la segunda derivada positiva, en $x=-1$ hay un mínimo relativo. Se ve igual de bien con el signo de $f'$, que factoriza así:

$f'(x)=x^3+3x+4=(x+1)\left(x^2-x+4\right)$

El segundo factor no tiene raíces reales, porque su discriminante es $1-16=-15<0$, y es siempre positivo; por tanto el signo de $f'$ es el de $x+1$.

$\text{Si } x=-2,\quad f'(-2)=-8-6+4=-10<0$

$\text{Si } x=0,\quad f'(0)=4>0$



La función pasa de decrecer a crecer en $x=-1$, lo que confirma que se trata de un mínimo relativo, y además es el único extremo de la función.

$\textbf{b) Suponiendo que } \boldsymbol{b = 1}\textbf{, encuentre una primitiva de } \boldsymbol{f'(x)}\textbf{, es decir, } \boldsymbol{\int f'(x)\,dx}\textbf{. [3 puntos]}$

Con $b=1$ la derivada es $f'(x)=x^3+x+4$, y se integra término a término con la regla de la potencia.

$\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

$\int\left(x^3+x+4\right)dx=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}+4x+C$

Las primitivas de $f'(x)$ son $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}+4x+C$, una para cada valor de la constante $C$.

$\textbf{c) Utilice la primitiva anterior para encontrar } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para } \boldsymbol{b = 1}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{f(2) = -1}\textbf{. [3 puntos]}$

La función $f$ es una de esas primitivas, y la condición $f(2)=-1$ es la que fija cuál. Sustituimos.

$f(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}+4x+C$

$f(2)=\dfrac{16}{4}+\dfrac{4}{2}+8+C=4+2+8+C=14+C$

$14+C=-1 \Rightarrow C=-15$

$f(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}+4x-15$

Comprobamos las dos condiciones: la derivada y el valor en $x=2$.

$f'(x)=\dfrac{4x^3}{4}+\dfrac{2x}{2}+4=x^3+x+4$

$f(2)=4+2+8-15=-1$

La función buscada es $f(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}+4x-15$.