Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles, A y B. Para hacer una hornada de pasteles del tipo A se necesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada de pasteles del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Se sabe que el beneficio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 euros y de 30 euros al vender una hornada del tipo B.

a) Plantee la maximización del beneficio del pastelero como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Determine cuántas hornadas de cada tipo ha de hacer y vender el pastelero para maximizar sus beneficios. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

$\textbf{a) Plantee la maximización del beneficio del pastelero como un problema de programación lineal. [4 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de hornadas del tipo A e $y$ al número de hornadas del tipo B.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Harina (kg)}$	$\text{Azúcar (kg)}$	$\text{Mantequilla (kg)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Tipo A } (x)$	$3x$	$x$	$x$	$20x$ $\text{Tipo B } (y)$	$6y$	$0{,}5y$	$y$	$30y$ $\text{Disponible}$	150	22	26	$$

La función objetivo es el beneficio, y hay que maximizarla.

$B(x,y)=20x+30y$

Las restricciones salen de los tres ingredientes.

Hay 150 kg de harina $\Rightarrow$ $3x+6y\leq 150$, que dividiendo entre 3 queda $x+2y\leq 50$.

Hay 22 kg de azúcar $\Rightarrow$ $x+0{,}5y\leq 22$, que multiplicando por 2 queda $2x+y\leq 44$.

Hay 26 kg de mantequilla $\Rightarrow$ $x+y\leq 26$.

El número de hornadas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

$\text{Maximizar } B(x,y)=20x+30y \quad\text{sujeto a}\quad \begin{cases} x+2y\leq 50 \\ 2x+y\leq 44 \\ x+y\leq 26 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]}$

Dibujamos las tres rectas con una tabla de valores de cada una.

$x+2y=50$	$2x+y=44$	$x+y=26$ $(0,25)$	$(0,44)$	$(0,26)$ $(50,0)$	$(22,0)$	$(26,0)$

La región factible es la zona coloreada en azul, un pentágono.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\begin{cases} x+2y=50 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow 2y=50 \Rightarrow y=25 \Rightarrow A(0,25)$

Vértice $B$: $\begin{cases} x+2y=50 \\ x+y=26 \end{cases}$ $\Rightarrow$ restamos las dos ecuaciones:

$(x+2y)-(x+y)=50-26 \Rightarrow y=24 \Rightarrow x=26-24=2 \Rightarrow B(2,24)$

Vértice $C$: $\begin{cases} x+y=26 \\ 2x+y=44 \end{cases}$ $\Rightarrow$ restamos:

$(2x+y)-(x+y)=44-26 \Rightarrow x=18 \Rightarrow y=26-18=8 \Rightarrow C(18,8)$

Vértice $D$: $\begin{cases} 2x+y=44 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow 2x=44 \Rightarrow x=22 \Rightarrow D(22,0)$

$\textbf{c) Determine cuántas hornadas de cada tipo ha de hacer y vender el pastelero para maximizar sus beneficios. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]}$

Valoramos la función beneficio en los cinco vértices.

$O(0,0) \Rightarrow B=0$

$A(0,25) \Rightarrow B=30\cdot 25=750$

$B(2,24) \Rightarrow B=20\cdot 2+30\cdot 24=40+720=760$

$C(18,8) \Rightarrow B=20\cdot 18+30\cdot 8=360+240=600$

$D(22,0) \Rightarrow B=20\cdot 22=440$

Ha de hacer 2 hornadas del tipo A y 24 del tipo B, y el beneficio máximo es de 760 €. Con esa combinación se agotan la harina, $3\cdot 2+6\cdot 24=150$ kg, y la mantequilla, $2+24=26$ kg, y sobran $22-(2+12)=8$ kg de azúcar.