Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un trayecto de 600 km se ha de hacer combinando taxi, ferrocarril y autobús. El coste del taxi es de 0,5 euros/km; el del ferrocarril, de 0,2 euros/km, y el del autobús, de 0,1 euros/km. El recorrido nos ha costado 150 euros, y se sabe que se han hecho el doble de kilómetros con ferrocarril que con taxi y autobús juntos. Determine las distancias que se han recorrido con cada medio de transporte. [10 puntos]

$\textbf{Un trayecto de 600 km se ha de hacer combinando taxi, ferrocarril y autobús. El coste del taxi es de 0,5 euros/km; el del ferrocarril, de 0,2 euros/km, y el del autobús, de 0,1 euros/km. El recorrido nos ha costado 150 euros, y se sabe que se han hecho el doble de kilómetros con ferrocarril que con taxi y autobús juntos. Determine las distancias que se han recorrido con cada medio de transporte. [10 puntos]}$

Llamamos $x$ a los kilómetros recorridos en taxi, $y$ a los recorridos en ferrocarril y $z$ a los recorridos en autobús.

Cada dato del enunciado da una ecuación. El trayecto total es de 600 km.

$x+y+z=600$

El coste total es de 150 euros, a 0,5, 0,2 y 0,1 euros por kilómetro respectivamente.

$0{,}5x+0{,}2y+0{,}1z=150$

Se han hecho el doble de kilómetros en ferrocarril que en taxi y autobús juntos.

$y=2(x+z)$

$\begin{cases} x+y+z=600 \\ 0{,}5x+0{,}2y+0{,}1z=150 \\ y=2(x+z) \end{cases}$

La tercera ecuación, combinada con la primera, da directamente $y$: si $x+z$ es la mitad de $y$, el total de 600 km se reparte en tres partes iguales, dos de ellas de ferrocarril.

$x+z=\dfrac{y}{2} \Rightarrow \dfrac{y}{2}+y=600 \Rightarrow \dfrac{3y}{2}=600$

$y=400 \Rightarrow x+z=200$

Sustituimos en la ecuación del coste.

$0{,}5x+0{,}2\cdot 400+0{,}1z=150 \Rightarrow 0{,}5x+80+0{,}1z=150$

$0{,}5x+0{,}1z=70$

Con $z=200-x$:

$0{,}5x+0{,}1(200-x)=70 \Rightarrow 0{,}5x+20-0{,}1x=70$

$0{,}4x=50 \Rightarrow x=\dfrac{50}{0{,}4}=125$

$z=200-125=75$

Comprobamos las tres condiciones.

$125+400+75=600$ km.

$0{,}5\cdot 125+0{,}2\cdot 400+0{,}1\cdot 75=62{,}5+80+7{,}5=150$ euros.

$2(125+75)=400=y$.

Se han recorrido 125 km en taxi, 400 km en ferrocarril y 75 km en autobús.