Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17,4 años. Se sabe que la desviación típica de la población normal de la cual procede esta muestra es de 2 años.

a) Obtenga un intervalo de confianza al 95 % para la edad media de la población. [5 puntos]

b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para que, al estimar la edad media con un nivel de confianza del 99 %, el error cometido sea inferior a 0,5 años? [5 puntos]

$\textbf{a) Obtenga un intervalo de confianza al 95 \% para la edad media de la población. [5 puntos]}$

La población es normal con desviación típica conocida $\sigma=2$ años, así que la media de una muestra de tamaño $n=256$ se distribuye así:

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),\qquad \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{256}}=\dfrac{2}{16}=0{,}125 \ \text{años}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Buscamos el valor crítico para una confianza del 95 %.

$1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}025 \Rightarrow P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=0{,}975$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor 0,9750 aparece exactamente en la fila 1,9 y la columna 6.

$z_{\alpha/2}=1{,}96$

$E=1{,}96\cdot 0{,}125=0{,}245 \ \text{años}$

$IC=(17{,}4-0{,}245,\ 17{,}4+0{,}245)=(17{,}155,\ 17{,}645)$

Con una confianza del 95 %, la edad media de la población está entre 17,155 y 17,645 años.



$\textbf{b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para que, al estimar la edad media con un nivel de confianza del 99 \%, el error cometido sea inferior a 0,5 años? [5 puntos]}$

Ahora el valor crítico corresponde a una confianza del 99 %.

$1-\alpha=0{,}99 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}005 \Rightarrow P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=0{,}995$

$z$	$P(Z\leq z)$ 2,57	0,9949 2,58	0,9951

El valor 0,995 cae entre las dos filas, de modo que se toma el punto medio.

$z_{\alpha/2}=\dfrac{2{,}57+2{,}58}{2}=2{,}575$

Imponemos que el error sea inferior a 0,5 años y despejamos $n$.

$z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<0{,}5 \Rightarrow 2{,}575\cdot\dfrac{2}{\sqrt{n}}<0{,}5$

$\dfrac{5{,}15}{\sqrt{n}}<0{,}5 \Rightarrow \sqrt{n}>\dfrac{5{,}15}{0{,}5}=10{,}3$

$n>10{,}3^2=106{,}09$

El tamaño de la muestra ha de ser un número entero mayor que 106,09.

$n=107 \ \text{individuos}$

Hay que tomar una muestra de al menos 107 individuos. Comparado con el apartado a), subir la confianza del 95 % al 99 % obliga a más que doblar la precisión exigida y, por tanto, a una muestra bastante mayor de la que se necesitaría con el 95 %.