Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Dadas las funciones $f(x) = -x^2 + 5$ y $g(x) = x^2 - a$, donde $a \in \mathbb{R}$.

a) Encuentre todos los posibles valores de $a$ para que $f(x)$ y $g(x)$ se corten. [3 puntos]

b) Para $a = 3$, dibuje el recinto cerrado entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, identificando los puntos de intersección. [3 puntos]

c) Para $a = 3$, calcule el área de este recinto interior. [4 puntos]

$\textbf{a) Encuentre todos los posibles valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ se corten. [3 puntos]}$

Dos gráficas se cortan en los puntos donde las funciones toman el mismo valor, así que se igualan las dos expresiones.

$f(x)=g(x) \Rightarrow -x^2+5=x^2-a$

$5+a=2x^2 \Rightarrow x^2=\dfrac{5+a}{2}$

Un cuadrado nunca es negativo, de modo que la ecuación solo tiene solución real cuando el segundo miembro es mayor o igual que cero.

$\dfrac{5+a}{2}\geq 0 \Rightarrow 5+a\geq 0 \Rightarrow a\geq -5$

Las dos gráficas se cortan si y solo si $a\geq -5$. Para $a>-5$ se cortan en dos puntos simétricos respecto del eje de ordenadas, $x=\pm\sqrt{(5+a)/2}$, y para $a=-5$ se tocan en un único punto, $x=0$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 3}\textbf{, dibuje el recinto cerrado entre las gráficas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)}\textbf{, identificando los puntos de intersección. [3 puntos]}$

Con $a=3$ las dos funciones son

$f(x)=-x^2+5,\qquad g(x)=x^2-3$

Los puntos de corte salen de la fórmula del apartado anterior.

$x^2=\dfrac{5+3}{2}=4 \Rightarrow x=\pm 2$

$f(2)=-4+5=1,\qquad g(2)=4-3=1$

Los puntos de intersección son $(-2,1)$ y $(2,1)$.

Para dibujar basta reconocer las dos parábolas. La de $f$ tiene las ramas hacia abajo y el vértice en $(0,5)$; la de $g$ las tiene hacia arriba y el vértice en $(0,-3)$. El recinto cerrado entre ellas es la zona sombreada, con $f$ por encima y $g$ por debajo.

$f(0)=5>-3=g(0)$



$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a = 3}\textbf{, calcule el área de este recinto interior. [4 puntos]}$

El área entre dos curvas es la integral de la diferencia entre la de arriba y la de abajo, entre los dos puntos de corte.

$\text{Área}=\int_{-2}^{2}\left(f(x)-g(x)\right)dx=\int_{-2}^{2}\left[\left(-x^2+5\right)-\left(x^2-3\right)\right]dx$

$=\int_{-2}^{2}\left(-2x^2+8\right)dx$

$=\left[-\dfrac{2x^3}{3}+8x\right]_{-2}^{2}$

$=\left(-\dfrac{16}{3}+16\right)-\left(\dfrac{16}{3}-16\right)=32-\dfrac{32}{3}=\dfrac{96-32}{3}=\dfrac{64}{3}$

$\text{Área}=\dfrac{64}{3}\approx 21{,}33 \ \text{unidades de área}$

El área del recinto es de $64/3\approx 21{,}33$ unidades de área.