Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema siguiente:

$\begin{cases} x + (a + 1)y = 1, \\ ax + 2y = -2. \end{cases}$

a) Discuta el sistema en función del parámetro $a$. [6 puntos]

b) Resuélvalo para $a = -2$. [4 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema en función del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. [6 puntos]}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada.

$A=\begin{pmatrix} 1 & a+1 \\ a & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^*=\begin{pmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ a & 2 & -2 \end{pmatrix}$

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=1\cdot 2-(a+1)\cdot a=2-a^2-a=-a^2-a+2$

$|A|=0 \Rightarrow a^2+a-2=0 \Rightarrow a=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2}$

$\begin{cases} a=1 \\ a=-2 \end{cases} \Rightarrow |A|=-(a-1)(a+2)$

Si $a\neq 1$ y $a\neq -2$, entonces $|A|\neq 0$ y el rango de $A$ es 2, igual que el de $A^*$ y que el número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y tiene una única solución.

Si $a=1$, el sistema queda

$\begin{cases} x+2y=1 \\ x+2y=-2 \end{cases}$

Los primeros miembros son idénticos y los segundos distintos, así que $\text{rg}(A)=1$ y $\text{rg}(A^*)=2$: el sistema es incompatible y no tiene solución.

Si $a=-2$, el sistema queda

$\begin{cases} x-y=1 \\ -2x+2y=-2 \end{cases}$

La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$, luego no aporta información. Aquí $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=1$, menor que el número de incógnitas: el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, con un grado de libertad.

En resumen: para $a\neq 1$ y $a\neq -2$ hay solución única; para $a=1$ no hay solución; para $a=-2$ hay infinitas soluciones.

$\textbf{b) Resuélvalo para } \boldsymbol{a = -2}\textbf{. [4 puntos]}$

Con $a=-2$, y por lo visto en el apartado anterior, todo el sistema se reduce a una sola ecuación.

$x-y=1 \Rightarrow x=1+y$

Llamando $y=\lambda$, la solución es

$\begin{cases} x=1+\lambda \\ y=\lambda \end{cases} \qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la segunda ecuación del sistema original.

$-2(1+\lambda)+2\lambda=-2-2\lambda+2\lambda=-2$

Para $a=-2$ el sistema tiene infinitas soluciones, todas de la forma $(1+\lambda,\ \lambda)$. Con $\lambda=0$ se obtiene, por ejemplo, $(1,0)$.