Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17,4 años. Se sabe que la desviación típica de la población normal de la cual procede esta muestra es de 2 años.

a) Calcule un intervalo de confianza del 95 % para estimar la edad media de la población. [5 puntos]

b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para que, al estimar la edad media de esta población con un nivel de confianza del 92 %, el error cometido sea inferior a 0,5 años. [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule un intervalo de confianza del 95 \% para estimar la edad media de la población. [5 puntos]}$

La población es normal con desviación típica conocida $\sigma=2$ años, así que la media de una muestra de tamaño $n=256$ se distribuye así:

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),\qquad \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{256}}=\dfrac{2}{16}=0{,}125 \ \text{años}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Buscamos el valor crítico para una confianza del 95 %.

$1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}025 \Rightarrow P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=0{,}975$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor 0,9750 corresponde exactamente a 1,96.

$z_{\alpha/2}=1{,}96$

$E=1{,}96\cdot 0{,}125=0{,}245 \ \text{años}$

$IC=(17{,}4-0{,}245,\ 17{,}4+0{,}245)=(17{,}155,\ 17{,}645)$

Con una confianza del 95 %, la edad media de la población está entre 17,155 y 17,645 años.



$\textbf{b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para que, al estimar la edad media de esta población con un nivel de confianza del 92 \%, el error cometido sea inferior a 0,5 años. [5 puntos]}$

Ahora el valor crítico corresponde a una confianza del 92 %.

$1-\alpha=0{,}92 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}04 \Rightarrow P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=0{,}96$

$z$	$P(Z\leq z)$ 1,74	0,9591 1,75	0,9599 1,76	0,9608

El valor más próximo a 0,96 es 0,9599, así que tomamos $z_{\alpha/2}=1{,}75$.

Imponemos que el error sea inferior a 0,5 años y despejamos $n$.

$z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<0{,}5 \Rightarrow 1{,}75\cdot\dfrac{2}{\sqrt{n}}<0{,}5$

$\dfrac{3{,}5}{\sqrt{n}}<0{,}5 \Rightarrow \sqrt{n}>\dfrac{3{,}5}{0{,}5}=7$

$n>49$

El tamaño de la muestra ha de ser un número entero estrictamente mayor que 49.

$n=50 \ \text{individuos}$

Hay que tomar una muestra de al menos 50 individuos. Con 49 el error sería exactamente $3{,}5/7=0{,}5$ años, y el enunciado pide que sea inferior.