Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Considere la función $f(x) = \dfrac{3}{x} + 8$.

a) Encuentre los puntos de la gráfica en los cuales la recta tangente es paralela a la recta $3x + 4y + 5 = 0$. [4 puntos]

b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos encontrados en el apartado anterior. [2 puntos]

c) Calcule el área comprendida entre la gráfica de la función $f(x)$ y las rectas $x = 2$, $x = 4$ e $y = 0$. [4 puntos]

$\textbf{a) Encuentre los puntos de la gráfica en los cuales la recta tangente es paralela a la recta } \boldsymbol{3x + 4y + 5 = 0}\textbf{. [4 puntos]}$

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, así que lo primero es despejar la recta dada en forma explícita para leer la suya.

$3x+4y+5=0 \Rightarrow 4y=-3x-5 \Rightarrow y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{5}{4}$

$m=-\dfrac{3}{4}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada, de modo que hay que resolver $f'(x)=-3/4$.

$f(x)=\dfrac{3}{x}+8=3x^{-1}+8 \Rightarrow f'(x)=-3x^{-2}=-\dfrac{3}{x^2}$

$-\dfrac{3}{x^2}=-\dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{3}{x^2}=\dfrac{3}{4} \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$

Las dos soluciones son válidas, porque el dominio de la función es $\mathbb{R}-\{0\}$ y ninguna de las dos es cero. Calculamos las ordenadas.

$f(2)=\dfrac{3}{2}+8=\dfrac{19}{2}=9{,}5$

$f(-2)=\dfrac{3}{-2}+8=\dfrac{13}{2}=6{,}5$

Los puntos pedidos son $(2;\,9{,}5)$ y $(-2;\,6{,}5)$.

$\textbf{b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos encontrados en el apartado anterior. [2 puntos]}$

Se usa la forma punto-pendiente con la pendiente común $-3/4$.

En el punto $(2;\,9{,}5)$:

$y-\dfrac{19}{2}=-\dfrac{3}{4}(x-2) \Rightarrow y=\dfrac{19}{2}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$

$y=-\dfrac{3}{4}x+11$

En el punto $(-2;\,6{,}5)$:

$y-\dfrac{13}{2}=-\dfrac{3}{4}(x+2) \Rightarrow y=\dfrac{13}{2}-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{3}{2}$

$y=-\dfrac{3}{4}x+5$

Las dos rectas tangentes son $y=-\dfrac{3}{4}x+11$ e $y=-\dfrac{3}{4}x+5$. Son paralelas entre sí y paralelas a la recta del enunciado, como tenía que ser.



$\textbf{c) Calcule el área comprendida entre la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x = 2}\textbf{, } \boldsymbol{x = 4}\textbf{ e } \boldsymbol{y = 0}\textbf{. [4 puntos]}$

Comprobamos primero el signo de la función en el intervalo $[2,4]$, que está entero dentro del dominio.

$f(2)=9{,}5>0,\qquad f(4)=\dfrac{3}{4}+8=8{,}75>0$

Para $x>0$ los dos sumandos son positivos, así que el recinto queda por encima del eje de abscisas y el área coincide con la integral definida.

$\text{Área}=\int_{2}^{4}\left(\dfrac{3}{x}+8\right)dx$

$\int\dfrac{3}{x}\,dx=3\ln|x|+C,\qquad \int 8\,dx=8x+C$

$\text{Área}=\left[3\ln|x|+8x\right]_{2}^{4}=\left(3\ln 4+32\right)-\left(3\ln 2+16\right)$

$=3\left(\ln 4-\ln 2\right)+16=3\ln\dfrac{4}{2}+16=3\ln 2+16$

$\ln 2\approx 0{,}6931 \Rightarrow \text{Área}\approx 3\cdot 0{,}6931+16=2{,}079+16$

$\text{Área}\approx 18{,}08 \ \text{unidades de área}$

El área pedida es $3\ln 2+16\approx 18{,}08$ unidades de área.