Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

El número de individuos, en millones, de una población viene determinado por la función

$P(t) = \dfrac{2 + t + t^2}{t^2 + 2t + 1},$

donde $t \ge 0$ mide el número de años transcurridos.

a) ¿Cuál es la población inicial ($t = 0$) y la población después de 5 años? [2 puntos]

b) ¿A partir de qué momento la población será inferior a un millón de individuos? [4 puntos]

c) Con el paso de los años, ¿hacia qué valor tenderá el número de individuos de la población? [4 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la población inicial (} \boldsymbol{t = 0}\textbf{) y la población después de 5 años? [2 puntos]}$

Basta sustituir los dos valores en la función.

$P(0)=\dfrac{2+0+0^2}{0^2+2\cdot 0+1}=\dfrac{2}{1}=2$

$P(5)=\dfrac{2+5+5^2}{5^2+2\cdot 5+1}=\dfrac{2+5+25}{25+10+1}=\dfrac{32}{36}=\dfrac{8}{9}\approx 0{,}889$

La población inicial es de 2 millones de individuos, y al cabo de 5 años es de $8/9\approx 0{,}889$ millones, es decir, unos 889 000 individuos.

$\textbf{b) ¿A partir de qué momento la población será inferior a un millón de individuos? [4 puntos]}$

Se plantea la inecuación $P(t)<1$. Antes conviene observar que el denominador es un cuadrado perfecto y, por tanto, positivo para todo $t\geq 0$.

$t^2+2t+1=(t+1)^2>0 \quad \text{para } t\geq 0$

Eso permite multiplicar por el denominador sin cambiar el sentido de la desigualdad.

$\dfrac{2+t+t^2}{(t+1)^2}<1 \Rightarrow 2+t+t^2<t^2+2t+1$

Los términos en $t^2$ se cancelan y queda una inecuación de primer grado.

$2+t<2t+1 \Rightarrow 2-1<2t-t \Rightarrow 1<t$

Comprobamos con dos valores, uno a cada lado de $t=1$.

$P(1)=\dfrac{2+1+1}{1+2+1}=\dfrac{4}{4}=1$

$P(2)=\dfrac{2+2+4}{4+4+1}=\dfrac{8}{9}\approx 0{,}889<1$

La población será inferior a un millón de individuos a partir del primer año, es decir, para $t>1$. Justo en $t=1$ la población es exactamente de un millón.

$\textbf{c) Con el paso de los años, ¿hacia qué valor tenderá el número de individuos de la población? [4 puntos]}$

Hay que calcular el límite de la función cuando $t$ tiende a infinito.

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{2+t+t^2}{t^2+2t+1}=\dfrac{\infty}{\infty}$

Es un cociente de polinomios del mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales. Se ve dividiendo numerador y denominador por $t^2$.

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{2+t+t^2}{t^2+2t+1} =\lim_{t\to+\infty}\dfrac{\dfrac{2}{t^2}+\dfrac{1}{t}+1}{1+\dfrac{2}{t}+\dfrac{1}{t^2}} =\dfrac{0+0+1}{1+0+0}=1$

Con el paso de los años el número de individuos tenderá a 1 millón: la recta $P=1$ es una asíntota horizontal. La población parte de 2 millones, baja por debajo del millón —el mínimo lo alcanza en $t=3$, con $P(3)=14/16=0{,}875$ millones— y después vuelve a subir acercándose poco a poco a ese millón sin llegar nunca.