Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Consideremos la función definida a trozos siguiente

$f(x) = \begin{cases} -4x + a & \text{si } x \le -2, \\ x^2 - 5 & \text{si } -2 < x < 1, \\ -7x + 3 & \text{si } x \ge 1. \end{cases}$

a) Calcule los valores de $a$ para que $f(x)$ sea continua. [3 puntos]

b) ¿Es $f(x)$ derivable para $a = 1$? [3 puntos]

c) Para $a = 0$, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [4 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua. [3 puntos]}$

Dentro de cada trozo la función es un polinomio, y los polinomios son continuos. Los puntos dudosos son los dos empalmes, $x=-2$ y $x=1$.

Empezamos por $x=-2$, que es donde aparece el parámetro. El primer trozo incluye ese punto, luego $f(-2)=-4(-2)+a=8+a$.

$\lim_{x\to -2^-}f(x)=-4(-2)+a=8+a$

$\lim_{x\to -2^+}f(x)=(-2)^2-5=4-5=-1$

$8+a=-1 \Rightarrow a=-9$

Comprobamos ahora el otro empalme, $x=1$, donde no interviene el parámetro.

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=1^2-5=-4$

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=-7\cdot 1+3=-4$

Los dos coinciden con $f(1)=-4$, así que en $x=1$ la función es continua siempre.

La función es continua únicamente para $a=-9$.

$\textbf{b) ¿Es } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ derivable para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{? [3 puntos]}$

Con $a=1$ hay que comprobar antes la continuidad, porque una función que no es continua en un punto tampoco puede ser derivable en él.

$\lim_{x\to -2^-}f(x)=8+1=9 \neq -1=\lim_{x\to -2^+}f(x)$

En $x=-2$ la función presenta una discontinuidad de salto finito, luego no es derivable ahí.

En $x=1$ sí es continua, así que hay que mirar las derivadas laterales.

$f'(x)= \begin{cases} -4, & x<-2 \\ 2x, & -2<x<1 \\ -7, & x>1 \end{cases}$

$f'(1^-)=2\cdot 1=2,\qquad f'(1^+)=-7$

$2\neq -7$

Las derivadas laterales existen pero no coinciden, así que tampoco es derivable en $x=1$: la gráfica presenta ahí un punto anguloso.

Para $a=1$ la función no es derivable. Falla en dos puntos: en $x=-2$ porque no es continua, y en $x=1$ porque las derivadas laterales son distintas. En el resto de puntos sí es derivable.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a = 0}\textbf{, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [4 puntos]}$

Con $a=0$ la función queda

$f(x)= \begin{cases} -4x & \text{si } x\leq -2 \\ x^2-5 & \text{si } -2<x<1 \\ -7x+3 & \text{si } x\geq 1 \end{cases}$

Estudiamos el signo de la derivada trozo a trozo.

En el primer trozo la derivada es la constante $-4<0$, luego la función decrece.

En el tercer trozo la derivada es la constante $-7<0$, luego también decrece.

En el trozo central la derivada es $2x$, que se anula en un punto interior.

$f'(x)=2x=0 \Rightarrow x=0$

$\text{Si } x=-1,\quad f'(-1)=-2<0$

$\text{Si } x=0{,}5,\quad f'(0{,}5)=1>0$



La función decrece en $(-\infty,-2)$, en $(-2,0)$ y en $(1,+\infty)$, y crece únicamente en $(0,1)$. En $x=0$ hay un mínimo relativo, de valor $f(0)=-5$. Conviene recordar que con $a=0$ la función sigue teniendo un salto en $x=-2$, y por eso el primer intervalo de decrecimiento se corta ahí.