Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una tienda de fruta hemos comprado manzanas a 0,5 euros cada una, aguacates a 1 euro y piñas a 1,5 euros la pieza. Al llegar a la caja nos damos cuenta de que llevamos 70 piezas de fruta, cuyo coste total es de 68 euros. También observamos que si las manzanas que llevamos fuesen aguacates y los aguacates fuesen manzanas, la compra nos saldría 4 euros más barata.

a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [5 puntos]

b) Determine el número de piezas de cada fruta que hemos comprado. [5 puntos]

$\textbf{a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [5 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de manzanas, $y$ al número de aguacates y $z$ al número de piñas.

Se llevan 70 piezas de fruta en total.

$x+y+z=70$

El coste total es de 68 euros, con las manzanas a 0,5 €, los aguacates a 1 € y las piñas a 1,5 €.

$0{,}5x+y+1{,}5z=68$

La tercera condición hay que leerla con cuidado: si las manzanas fuesen aguacates y los aguacates manzanas, se estarían pagando $x$ piezas a 1 € y $y$ piezas a 0,5 €, y la compra costaría 4 euros menos.

$x+0{,}5y+1{,}5z=68-4=64$

El sistema de ecuaciones lineales que traduce el enunciado es

$\begin{cases} x+y+z=70 \\ 0{,}5x+y+1{,}5z=68 \\ x+0{,}5y+1{,}5z=64 \end{cases}$

$\textbf{b) Determine el número de piezas de cada fruta que hemos comprado. [5 puntos]}$

Las ecuaciones segunda y tercera comparten el término $1{,}5z$, así que restándolas desaparece.

$(0{,}5x+y+1{,}5z)-(x+0{,}5y+1{,}5z)=68-64$

$-0{,}5x+0{,}5y=4 \Rightarrow y-x=8 \Rightarrow y=x+8$

Sustituimos en la primera ecuación para dejar $z$ en función de $x$.

$x+(x+8)+z=70 \Rightarrow z=62-2x$

Llevamos las dos expresiones a la segunda ecuación.

$0{,}5x+(x+8)+1{,}5(62-2x)=68$

$0{,}5x+x+8+93-3x=68 \Rightarrow -1{,}5x+101=68$

$-1{,}5x=-33 \Rightarrow x=22$

$y=22+8=30,\qquad z=62-44=18$

Comprobamos las tres condiciones.

$22+30+18=70$ piezas.

$0{,}5\cdot 22+1\cdot 30+1{,}5\cdot 18=11+30+27=68$ euros.

$1\cdot 22+0{,}5\cdot 30+1{,}5\cdot 18=22+15+27=64=68-4$ euros.

Hemos comprado 22 manzanas, 30 aguacates y 18 piñas.