Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices de la forma $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$.

a) Calcule $A^2$. [2 puntos]

b) Encuentre $a$, $b$ y $c$ tales que $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. [8 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{A^2}\textbf{. [2 puntos]}$

Multiplicamos la matriz por sí misma, fila por columna.

$A^2= \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$

$A^2= \begin{pmatrix} a\cdot a+1\cdot 0+0\cdot 0 & a\cdot 1+1\cdot b+0\cdot 0 & a\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot c \\ 0\cdot a+b\cdot 0+1\cdot 0 & 0\cdot 1+b\cdot b+1\cdot 0 & 0\cdot 0+b\cdot 1+1\cdot c \\ 0\cdot a+0\cdot 0+c\cdot 0 & 0\cdot 1+0\cdot b+c\cdot 0 & 0\cdot 0+0\cdot 1+c\cdot c \end{pmatrix}$

$A^2= \begin{pmatrix} a^2 & a+b & 1 \\ 0 & b^2 & b+c \\ 0 & 0 & c^2 \end{pmatrix}$

Como era de esperar, el producto de dos matrices triangulares superiores vuelve a ser triangular superior, y en la diagonal quedan los cuadrados de los elementos de la diagonal de $A$.

$\textbf{b) Encuentre } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ tales que } \boldsymbol{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{. [8 puntos]}$

Igualamos las dos matrices elemento a elemento. Las posiciones nulas se cumplen solas, y la posición $a_{13}$ también, porque en $A^2$ vale 1 cualesquiera que sean los parámetros.

$\begin{cases} a^2=1 \\ a+b=0 \\ b^2=1 \\ b+c=0 \\ c^2=1 \end{cases}$

De la primera ecuación salen dos posibilidades.

$a^2=1 \Rightarrow a=\pm 1$

Las ecuaciones segunda y cuarta encadenan los tres parámetros.

$a+b=0 \Rightarrow b=-a;\qquad b+c=0 \Rightarrow c=-b=a$

Con eso las ecuaciones $b^2=1$ y $c^2=1$ se cumplen automáticamente, porque $b$ y $c$ valen $\pm 1$. Quedan por tanto dos soluciones.

Si $a=1$: $b=-1$ y $c=1$.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^2=\begin{pmatrix} 1 & 1-1 & 1 \\ 0 & 1 & -1+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Si $a=-1$: $b=1$ y $c=-1$.

$A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^2=\begin{pmatrix} 1 & -1+1 & 1 \\ 0 & 1 & 1-1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Hay dos soluciones: $(a,b,c)=(1,-1,1)$ y $(a,b,c)=(-1,1,-1)$.