Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

De dos sucesos de un mismo espacio muestral se sabe que

$P(A \cap B) = 0{,}1, \qquad P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}6, \qquad P(A \mid B) = 0{,}5,$

donde $\overline{A}$ y $\overline{B}$ denotan los sucesos complementarios de $A$ y $B$ respectivamente.

a) Calcule $P(B)$. [3 puntos]

b) Calcule $P(A \cup B)$. [3 puntos]

c) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Razone la respuesta. [4 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{P(B)}\textbf{. [3 puntos]}$

Partimos de la definición de probabilidad condicionada, que relaciona el dato $P(A/B)$ con la intersección, que también es dato.

$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A/B)}$

$P(B)=\dfrac{0{,}1}{0{,}5}=0{,}2$

La probabilidad del suceso $B$ es $P(B)=0{,}2$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{P(A \cup B)}\textbf{. [3 puntos]}$

Aquí conviene reconocer el tercer dato del enunciado. Por las leyes de De Morgan, el suceso $\overline{A}\cap\overline{B}$ —no ocurre ninguno de los dos— es justamente el contrario de la unión.

$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$

$P(A\cup B)=1-P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=1-0{,}6=0{,}4$

La probabilidad de la unión es $P(A\cup B)=0{,}4$.

$\textbf{c) ¿Son los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ independientes? Razone la respuesta. [4 puntos]}$

Para decidirlo hace falta $P(A)$, que se obtiene de la fórmula de la probabilidad de la unión con los tres valores que ya tenemos.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$0{,}4=P(A)+0{,}2-0{,}1 \Rightarrow P(A)=0{,}4-0{,}1=0{,}3$

Con eso ya se puede repartir toda la probabilidad entre las cuatro zonas del espacio muestral.

$P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}3-0{,}1=0{,}2$

$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}2-0{,}1=0{,}1$



Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=0{,}3\cdot 0{,}2=0{,}06$

$P(A\cap B)=0{,}1\neq 0{,}06=P(A)\cdot P(B)$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes. Se ve igual de bien comparando la condicionada con la probabilidad a secas: $P(A/B)=0{,}5$ frente a $P(A)=0{,}3$, de manera que saber que ha ocurrido $B$ aumenta la probabilidad de $A$.