Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Consideremos la función a trozos siguiente

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 0, \\ e^{ax} + 1 & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$

a) Calcule los valores de $a$ para que $f$ sea continua y derivable. [5 puntos]

b) Para $a = 4$ calcule el área comprendida entre la gráfica de $f(x)$ y las rectas $x = 1$, $x = 2$ e $y = 0$. [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{f}\textbf{ sea continua y derivable. [5 puntos]}$

Dentro de cada trozo no hay problema: el primero es un polinomio y el segundo una exponencial, y las dos son funciones continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto dudoso es el empalme, $x=0$.

Empezamos por la continuidad, igualando los límites laterales.

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\left(x^2-3x+2\right)=2$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\left(e^{ax}+1\right)=e^{0}+1=1+1=2$

Los dos límites valen 2, y coinciden con $f(0)=2$, sea cual sea $a$: el parámetro está multiplicando a $x$ dentro del exponente, y en $x=0$ el exponente se anula.

$f(x) \ \text{es continua para todo } a\in\mathbb{R}$

Para la derivabilidad derivamos los dos trozos, aplicando la regla de la cadena en la exponencial.

$f'(x)= \begin{cases} 2x-3, & x<0 \\ a\,e^{ax}, & x>0 \end{cases}$

$f'(0^-)=2\cdot 0-3=-3$

$f'(0^+)=a\,e^{0}=a$

$f'(0^-)=f'(0^+) \Rightarrow -3=a \Rightarrow a=-3$

La función es continua para cualquier valor de $a$, y es derivable únicamente para $a=-3$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 4}\textbf{ calcule el área comprendida entre la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x = 1}\textbf{, } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ e } \boldsymbol{y = 0}\textbf{. [5 puntos]}$

El intervalo $[1,2]$ está enteramente en el segundo trozo, que con $a=4$ es

$f(x)=e^{4x}+1$

Esa función es siempre positiva, así que el recinto queda por encima del eje de abscisas y el área coincide con la integral definida.

$\text{Área}=\int_{1}^{2}\left(e^{4x}+1\right)dx$

Recordamos la integral de la exponencial compuesta:

$\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C$

$\int\left(e^{4x}+1\right)dx=\dfrac{e^{4x}}{4}+x$

Aplicamos la regla de Barrow.

$\text{Área}=\left[\dfrac{e^{4x}}{4}+x\right]_{1}^{2}=\left(\dfrac{e^{8}}{4}+2\right)-\left(\dfrac{e^{4}}{4}+1\right)$

$=\dfrac{e^{8}-e^{4}}{4}+1$

$e^{8}\approx 2980{,}958,\qquad e^{4}\approx 54{,}598$

$\text{Área}\approx\dfrac{2980{,}958-54{,}598}{4}+1=\dfrac{2926{,}360}{4}+1=731{,}590+1$

$\text{Área}\approx 732{,}59 \ \text{unidades de área}$

El área pedida es $\dfrac{e^{8}-e^{4}}{4}+1\approx 732{,}59$ unidades de área. Sale tan grande porque la exponencial crece muy deprisa: en $x=2$ la función ya vale casi 2982.