Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

El beneficio $B(x)$, en euros, que obtiene una empresa por la venta de $x$ unidades de un determinado producto se representa por la función:

$B(x) = -x^2 + 300x - 16100 \qquad \text{para } x \ge 0.$

a) Calcule el beneficio de vender 110 unidades. [1 punto]

b) Represente gráficamente la función. [3 puntos]

c) ¿Cuántas unidades ha de vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo? [3 puntos]

d) ¿Cuántas unidades ha de vender para tener un beneficio igual a 3900 euros? ¿Y para tener un beneficio superior a 3900 euros? [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule el beneficio de vender 110 unidades. [1 punto]}$

Basta sustituir $x=110$ en la función.

$B(110)=-110^2+300\cdot 110-16\,100=-12\,100+33\,000-16\,100$

$B(110)=4800$

El beneficio de vender 110 unidades es de 4800 euros.

$\textbf{b) Represente gráficamente la función. [3 puntos]}$

La función es una parábola con el coeficiente de $x^2$ negativo, así que las ramas van hacia abajo y tiene un máximo en el vértice.

$x_V=\dfrac{-300}{2\cdot(-1)}=150 \Rightarrow B(150)=-150^2+300\cdot 150-16\,100$

$B(150)=-22\,500+45\,000-16\,100=6400 \Rightarrow V(150,6400)$

Buscamos los puntos de corte con los ejes, que son los que fijan el dibujo.

$B(x)=0 \Rightarrow -x^2+300x-16\,100=0 \Rightarrow x^2-300x+16\,100=0$

$x=\dfrac{300\pm\sqrt{90\,000-64\,400}}{2}=\dfrac{300\pm\sqrt{25\,600}}{2}=\dfrac{300\pm 160}{2}$

$\begin{cases} x=70 \\ x=230 \end{cases}$

$B(0)=-16\,100$

La empresa empieza a tener beneficio a partir de las 70 unidades y vuelve a perder dinero por encima de las 230. Con esos datos —vértice, cortes con el eje de abscisas y el valor del apartado a)— se puede representar la parábola.



$\textbf{c) ¿Cuántas unidades ha de vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo? [3 puntos]}$

El máximo se busca derivando e igualando a cero.

$B'(x)=-2x+300$

$B'(x)=0 \Rightarrow -2x+300=0 \Rightarrow x=150$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(x)=-2 \Rightarrow B''(150)=-2<0$

$B(150)=6400$

Ha de vender 150 unidades, y el beneficio máximo es de 6400 euros.

$\textbf{d) ¿Cuántas unidades ha de vender para tener un beneficio igual a 3900 euros? ¿Y para tener un beneficio superior a 3900 euros? [3 puntos]}$

Para la primera pregunta se plantea la ecuación $B(x)=3900$.

$-x^2+300x-16\,100=3900 \Rightarrow -x^2+300x-20\,000=0$

$x^2-300x+20\,000=0 \Rightarrow x=\dfrac{300\pm\sqrt{90\,000-80\,000}}{2}=\dfrac{300\pm 100}{2}$

$\begin{cases} x=100 \\ x=200 \end{cases}$

Hay dos cantidades que dan exactamente 3900 euros de beneficio: 100 unidades y 200 unidades.

Para la segunda pregunta se resuelve la inecuación.

$-x^2+300x-16\,100>3900 \Rightarrow x^2-300x+20\,000<0$

$(x-100)(x-200)<0$

Un producto de dos factores es negativo cuando tienen signos distintos, lo que ocurre entre las dos raíces. Se comprueba con un valor de prueba en cada tramo.

$\text{Si } x=50,\quad (50-100)(50-200)=7500>0$

$\text{Si } x=150,\quad (150-100)(150-200)=-2500<0$

$\text{Si } x=250,\quad (250-100)(250-200)=7500>0$

El beneficio es igual a 3900 euros vendiendo 100 o 200 unidades, y es superior a 3900 euros vendiendo entre 100 y 200 unidades, es decir, para $x\in(100,200)$.