Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Dada la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + x$, definida para todo $x \in \mathbb{R}$.

a) Encuentre $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un punto crítico en el punto $x = 1$ y su gráfica pasa por el punto $(3, 0)$. [5 puntos]

b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ para $a = 3$ y $b = 3$. [5 puntos]

$\textbf{a) Encuentre } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene un punto crítico en el punto } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ y su gráfica pasa por el punto } \boldsymbol{(3, 0)}\textbf{. [5 puntos]}$

Cada una de las dos condiciones da una ecuación. La primera es sobre la derivada, de modo que empezamos derivando.

$f(x)=ax^3+bx^2+x \Rightarrow f'(x)=3ax^2+2bx+1$

Un punto crítico es un punto donde la derivada se anula.

$f'(1)=0 \Rightarrow 3a+2b+1=0$

La segunda condición es que la gráfica pase por $(3,0)$, es decir, que $f(3)=0$.

$f(3)=a\cdot 27+b\cdot 9+3=0 \Rightarrow 27a+9b+3=0$

Dividimos esta última entre 3 para simplificar y reunimos las dos ecuaciones en un sistema.

$\begin{cases} 3a+2b=-1 \\ 9a+3b=-1 \end{cases}$

Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 2, y restamos.

$\begin{cases} 9a+6b=-3 \\ 18a+6b=-2 \end{cases} \Rightarrow (18a+6b)-(9a+6b)=-2-(-3)$

$9a=1 \Rightarrow a=\dfrac{1}{9}$

$3\cdot\dfrac{1}{9}+2b=-1 \Rightarrow \dfrac{1}{3}+2b=-1 \Rightarrow 2b=-\dfrac{4}{3} \Rightarrow b=-\dfrac{2}{3}$

Comprobamos las dos condiciones con esos valores.

$f'(1)=3\cdot\dfrac{1}{9}+2\left(-\dfrac{2}{3}\right)+1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{3}+1=0$

$f(3)=\dfrac{27}{9}-\dfrac{2}{3}\cdot 9+3=3-6+3=0$

Los coeficientes son $a=\dfrac{1}{9}$ y $b=-\dfrac{2}{3}$.

$\textbf{b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para } \boldsymbol{a = 3}\textbf{ y } \boldsymbol{b = 3}\textbf{. [5 puntos]}$

Con esos coeficientes la función y su derivada son

$f(x)=3x^3+3x^2+x \Rightarrow f'(x)=9x^2+6x+1$

Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x)=0$.

$9x^2+6x+1=0 \Rightarrow x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-36}}{18}=\dfrac{-6\pm 0}{18}=-\dfrac{1}{3}$

El discriminante es cero, así que hay una única raíz, doble. Eso significa que la derivada es un cuadrado perfecto.

$f'(x)=9x^2+6x+1=(3x+1)^2$

Un cuadrado nunca es negativo, y solo vale cero en $x=-1/3$.

$f'(x)=(3x+1)^2\geq 0 \quad \text{para todo } x\in\mathbb{R}$

Lo comprobamos con dos valores de prueba, uno a cada lado del punto crítico.

$\text{Si } x=-1,\quad f'(-1)=(-3+1)^2=4>0$

$\text{Si } x=0,\quad f'(0)=(0+1)^2=1>0$



La función es creciente en todo $\mathbb{R}$ y no decrece en ningún intervalo. En $x=-1/3$ la derivada se anula, pero no hay ni máximo ni mínimo, porque la derivada no cambia de signo: es un punto de inflexión con tangente horizontal.