Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices siguientes:

$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3k \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ k & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$

a) Razone si es posible calcular los productos $M \cdot N$ y $M^2$. En el caso de que lo sea, calcúlelos. [2 puntos]

b) Estudie para qué valores de $k$ es $M \cdot N$ invertible. [3 puntos]

c) Calcule la inversa de $M \cdot N$ para $k = 1$. [2 puntos]

d) Para $k = 1$, encuentre la matriz $X$ que cumple $(M \cdot N) \cdot X = B$, donde $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. [3 puntos]

$\textbf{a) Razone si es posible calcular los productos } \boldsymbol{M \cdot N}\textbf{ y } \boldsymbol{M^2}\textbf{. En el caso de que lo sea, calcúlelos. [2 puntos]}$

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda.

$M \ \text{es de orden } 2\times 3,\qquad N \ \text{es de orden } 3\times 2$

El producto $M\cdot N$ sí es posible, porque $M$ tiene 3 columnas y $N$ tiene 3 filas; el resultado es de orden $2\times 2$.

$M\cdot N= \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ k & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

$M\cdot N= \begin{pmatrix} 0+k+0 & 2k-1+0 \\ 0-k-6k & 4+1+9k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 2k-1 \\ -7k & 9k+5 \end{pmatrix}$

El producto $M^2=M\cdot M$ no es posible: $M$ tiene 3 columnas y solo 2 filas, así que no se cumple la condición. Solo las matrices cuadradas se pueden elevar a una potencia.

$\textbf{b) Estudie para qué valores de } \boldsymbol{k}\textbf{ es } \boldsymbol{M \cdot N}\textbf{ invertible. [3 puntos]}$

Una matriz cuadrada es invertible cuando su determinante es distinto de cero.

$|M\cdot N|=\begin{vmatrix} k & 2k-1 \\ -7k & 9k+5 \end{vmatrix}=k(9k+5)-(2k-1)(-7k)$

$|M\cdot N|=9k^2+5k+7k(2k-1)=9k^2+5k+14k^2-7k$

$|M\cdot N|=23k^2-2k=k(23k-2)$

$|M\cdot N|=0 \Rightarrow k(23k-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} k=0 \\ k=\dfrac{2}{23} \end{cases}$

La matriz $M\cdot N$ es invertible para todo $k\neq 0$ y $k\neq \dfrac{2}{23}$.

$\textbf{c) Calcule la inversa de } \boldsymbol{M \cdot N}\textbf{ para } \boldsymbol{k = 1}\textbf{. [2 puntos]}$

Con $k=1$ la matriz y su determinante son

$M\cdot N=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -7 & 14 \end{pmatrix}, \qquad |M\cdot N|=1\cdot(23-2)=21\neq 0$

Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante.

$(M\cdot N)^{-1}=\dfrac{1}{21}\begin{pmatrix} 14 & -1 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{21} \\[4pt] \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{21} \end{pmatrix}$

Comprobamos que el producto da la identidad.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -7 & 14 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{21}\begin{pmatrix} 14 & -1 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{21}\begin{pmatrix} 14+7 & -1+1 \\ -98+98 & 7+14 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{21}\begin{pmatrix} 21 & 0 \\ 0 & 21 \end{pmatrix}=I$

$\textbf{d) Para } \boldsymbol{k = 1}\textbf{, encuentre la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que cumple } \boldsymbol{(M \cdot N) \cdot X = B}\textbf{. [3 puntos]}$

Se despeja $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa que se acaba de calcular. El orden importa: la inversa va por el mismo lado en el que está la matriz que se quiere eliminar.

$(M\cdot N)\cdot X=B \Rightarrow (M\cdot N)^{-1}(M\cdot N)X=(M\cdot N)^{-1}B$

$X=(M\cdot N)^{-1}\cdot B$

$X=\dfrac{1}{21}\begin{pmatrix} 14 & -1 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{21}\begin{pmatrix} 28 & -1 \\ 14 & 1 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} \dfrac{4}{3} & -\dfrac{1}{21} \\[4pt] \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{21} \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -7 & 14 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{21}\begin{pmatrix} 28 & -1 \\ 14 & 1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{21}\begin{pmatrix} 42 & 0 \\ 0 & 21 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=B$