Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un ayuntamiento concede licencias para la construcción de una urbanización de, como máximo, 120 viviendas, de dos tipos, A y B. Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A de 100000 euros y el de tipo B de 300000 euros. El beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A es de 20000 euros y por la venta de una de tipo B es de 40000 euros.

a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de viviendas de cada tipo que se han de construir para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

$\textbf{a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de viviendas de tipo A e $y$ al número de viviendas de tipo B.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado, con las cantidades en euros.

$$	$\text{Viviendas}$	$\text{Coste (€)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Tipo A } (x)$	$x$	$100\,000x$	$20\,000x$ $\text{Tipo B } (y)$	$y$	$300\,000y$	$40\,000y$ $\text{Disponible}$	120	15 000 000	$$

La función objetivo es el beneficio, y hay que maximizarla.

$B(x,y)=20\,000x+40\,000y$

Las restricciones son la licencia municipal y el capital.

Como máximo 120 viviendas $\Rightarrow$ $x+y\leq 120$.

Como máximo 15 millones de euros $\Rightarrow$ $100\,000x+300\,000y\leq 15\,000\,000$, que dividiendo entre 100 000 queda $x+3y\leq 150$.

El número de viviendas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

$\text{Maximizar } B(x,y)=20\,000x+40\,000y \quad\text{sujeto a}\quad \begin{cases} x+y\leq 120 \\ x+3y\leq 150 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]}$

Dibujamos las dos rectas con una tabla de valores de cada una.

$x+y=120$	$x+3y=150$ $(0,120)$	$(0,50)$ $(120,0)$	$(150,0)$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\begin{cases} x+3y=150 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow 3y=150 \Rightarrow y=50 \Rightarrow A(0,50)$

Vértice $B$: $\begin{cases} x+y=120 \\ x+3y=150 \end{cases}$ $\Rightarrow$ restamos las dos ecuaciones:

$(x+3y)-(x+y)=150-120 \Rightarrow 2y=30 \Rightarrow y=15$

$x=120-15=105 \Rightarrow B(105,15)$

Vértice $C$: $\begin{cases} x+y=120 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow x=120 \Rightarrow C(120,0)$

El punto $(150,0)$, donde la recta del capital corta el eje de abscisas, no es vértice del recinto: la licencia no permite construir más de 120 viviendas.

$\textbf{c) Calcule el número de viviendas de cada tipo que se han de construir para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]}$

Valoramos la función beneficio en los cuatro vértices.

$O(0,0) \Rightarrow B=0$

$A(0,50) \Rightarrow B=40\,000\cdot 50=2\,000\,000$

$B(105,15) \Rightarrow B=20\,000\cdot 105+40\,000\cdot 15=2\,100\,000+600\,000=2\,700\,000$

$C(120,0) \Rightarrow B=20\,000\cdot 120=2\,400\,000$

Se han de construir 105 viviendas de tipo A y 15 de tipo B, y el beneficio máximo es de 2 700 000 €, es decir, 2,7 millones de euros. Con esa combinación se agotan las dos restricciones: $105+15=120$ viviendas y $100\,000\cdot 105+300\,000\cdot 15=10\,500\,000+4\,500\,000=15\,000\,000$ € de capital.