Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

De dos sucesos de un mismo espacio muestral se sabe que

$P(B \mid A) = 0{,}9, \qquad P(A \mid B) = 0{,}2, \qquad P(A) = 0{,}1.$

a) Calcule $P(A \cap B)$ y $P(B)$. [5 puntos]

b) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Razone la respuesta. [2 puntos]

c) Calcule $P(A \cap \overline{B})$, donde $\overline{B}$ representa el suceso complementario de $B$. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{P(A \cap B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(B)}\textbf{. [5 puntos]}$

Partimos de la definición de probabilidad condicionada, que relaciona las dos condicionadas del enunciado con la intersección.

$P(B/A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

De la primera se obtiene la intersección, porque $P(A)$ es dato.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)=0{,}1\cdot 0{,}9=0{,}09$

Con la intersección ya calculada, la segunda igualdad permite despejar $P(B)$.

$P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A/B)}=\dfrac{0{,}09}{0{,}2}=0{,}45$

Comprobamos que los valores son coherentes: la intersección no puede pasar de ninguna de las dos probabilidades, y $0{,}09\leq 0{,}1$ y $0{,}09\leq 0{,}45$.

$P(A\cap B)=0{,}09 \quad\text{y}\quad P(B)=0{,}45$

$\textbf{b) ¿Son los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ independientes? Razone la respuesta. [2 puntos]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=0{,}1\cdot 0{,}45=0{,}045$

$P(A\cap B)=0{,}09\neq 0{,}045=P(A)\cdot P(B)$

No son independientes. Se ve igual de bien comparando la condicionada con la probabilidad a secas: $P(B/A)=0{,}9$ frente a $P(B)=0{,}45$, de manera que saber que ha ocurrido $A$ duplica la probabilidad de $B$.

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{P(A \cap \overline{B})}\textbf{, donde } \boldsymbol{\overline{B}}\textbf{ representa el suceso complementario de } \boldsymbol{B}\textbf{. [3 puntos]}$

El suceso $A$ se descompone según ocurra o no $B$, y esos dos casos son incompatibles.

$A=(A\cap B)\cup(A\cap\overline{B}) \Rightarrow P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$

$P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}1-0{,}09=0{,}01$

La probabilidad pedida es $P(A\cap\overline{B})=0{,}01$. Con ella queda repartida toda la probabilidad del espacio muestral entre las cuatro zonas.