Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

En una universidad se ha observado que la distribución de las calificaciones de Física en los estudios de Ingeniería Informática sigue una ley normal de media $\mu = 5{,}1$ puntos y desviación típica $\sigma = 1{,}6$.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar obtenga una nota inferior a 4 puntos? [3 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 alumnos tenga una media superior a 5,9? [4 puntos]

c) Si en un aula hay 50 alumnos, ¿cuántos alumnos es de esperar que tengan una nota superior a 4 puntos? [3 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar obtenga una nota inferior a 4 puntos? [3 puntos]}$

Llamamos $X$ a la nota de un alumno escogido al azar.

$X\sim N(5{,}1\,;\,1{,}6)$

Tipificamos para poder usar la tabla.

$P(X<4)=P\left(Z<\dfrac{4-5{,}1}{1{,}6}\right)=P\left(Z<\dfrac{-1{,}1}{1{,}6}\right)=P(Z<-0{,}6875)$

$-0{,}6875\approx -0{,}69$

La tabla solo recoge valores positivos, así que se usa la simetría de la campana.

$P(Z<-0{,}69)=1-P(Z\leq 0{,}69)=1-0{,}7549=0{,}2451$

La probabilidad de que un alumno obtenga una nota inferior a 4 puntos es de $0{,}2451$, es decir, un 24,51 %.



$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 alumnos tenga una media superior a 5,9? [4 puntos]}$

Ahora la variable no es la nota de un alumno, sino la media de una muestra de 64. Su distribución tiene la misma media pero la desviación típica se divide entre la raíz del tamaño de la muestra.

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),\qquad \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{1{,}6}{\sqrt{64}}=\dfrac{1{,}6}{8}=0{,}2$

$\overline{X}\sim N(5{,}1\,;\,0{,}2)$

Tipificamos con esa desviación típica, mucho más pequeña que la de la variable individual.

$P\left(\overline{X}>5{,}9\right)=P\left(Z>\dfrac{5{,}9-5{,}1}{0{,}2}\right)=P\left(Z>\dfrac{0{,}8}{0{,}2}\right)=P(Z>4)$

$P(Z>4)=1-P(Z\leq 4)=1-1{,}0000=0{,}0000$

La probabilidad es prácticamente nula, del orden de tres cienmilésimas. Que la media de 64 alumnos llegue a 5,9 está a cuatro desviaciones típicas de la media, y por eso resulta tan improbable: la media de una muestra grande se aparta muchísimo menos de $\mu$ que la nota de un alumno suelto.



$\textbf{c) Si en un aula hay 50 alumnos, ¿cuántos alumnos es de esperar que tengan una nota superior a 4 puntos? [3 puntos]}$

La probabilidad de superar los 4 puntos es la contraria de la que se calculó en el apartado a).

$P(X>4)=1-P(X<4)=1-0{,}2451=0{,}7549$

El número esperado de alumnos es el producto del número total por esa probabilidad.

$50\cdot 0{,}7549=37{,}745$

Es de esperar que unos 38 alumnos de los 50 tengan una nota superior a 4 puntos.