Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

La evolución de la población de un Estado, en millones de habitantes, se puede aproximar mediante la función

$P(t) = \dfrac{20t}{4 + t^2} + 40, \qquad t \ge 0,$

donde $t$ es el tiempo en años.

a) Calcule la población actual (para $t = 0$). [2 puntos]

b) Determine el límite de $P(t)$ cuando $t$ tiende a infinito. [3 puntos]

c) Determine al cabo de cuántos años la población será máxima y el número de habitantes que la función predice para ese máximo. [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la población actual (para } \boldsymbol{t = 0}\textbf{). [2 puntos]}$

Basta sustituir $t=0$ en la función.

$P(0)=\dfrac{20\cdot 0}{4+0^2}+40=\dfrac{0}{4}+40=40$

La población actual es de 40 millones de habitantes.

$\textbf{b) Determine el límite de } \boldsymbol{P(t)}\textbf{ cuando } \boldsymbol{t}\textbf{ tiende a infinito. [3 puntos]}$

El sumando 40 es constante, así que todo depende del cociente, que es una fracción algebraica con el grado del denominador mayor que el del numerador.

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{20t}{4+t^2}=\dfrac{\infty}{\infty}$

Dividimos numerador y denominador por $t^2$, la potencia de mayor grado.

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{20t}{4+t^2}=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{\dfrac{20}{t}}{\dfrac{4}{t^2}+1}=\dfrac{0}{0+1}=0$

$\lim_{t\to+\infty}P(t)=0+40=40$

El límite es 40 millones de habitantes: la recta $P=40$ es una asíntota horizontal, de modo que a largo plazo la población vuelve al valor de partida.

$\textbf{c) Determine al cabo de cuántos años la población será máxima y el número de habitantes que la función predice para ese máximo. [5 puntos]}$

Derivamos la función. El sumando constante desaparece y el cociente se deriva con la regla correspondiente.

$P'(t)=\dfrac{20\left(4+t^2\right)-20t\cdot 2t}{\left(4+t^2\right)^2}=\dfrac{80+20t^2-40t^2}{\left(4+t^2\right)^2}$

$P'(t)=\dfrac{80-20t^2}{\left(4+t^2\right)^2}=\dfrac{20\left(4-t^2\right)}{\left(4+t^2\right)^2}$

El denominador es un cuadrado y nunca se anula, así que los puntos críticos salen del numerador.

$P'(t)=0 \Rightarrow 4-t^2=0 \Rightarrow t=\pm 2$

Se descarta $t=-2$ porque el enunciado exige $t\geq 0$. Hacemos un estudio de signos con un valor de prueba a cada lado.

$\text{Si } t=1,\quad 4-1=3>0 \Rightarrow P'(1)>0$

$\text{Si } t=3,\quad 4-9=-5<0 \Rightarrow P'(3)<0$



La función pasa de crecer a decrecer en $t=2$, luego ahí hay un máximo. Calculamos la población.

$P(2)=\dfrac{20\cdot 2}{4+2^2}+40=\dfrac{40}{8}+40=5+40=45$

La población será máxima al cabo de 2 años, y el modelo predice 45 millones de habitantes. Después la población vuelve a bajar y se acerca poco a poco a los 40 millones del apartado b).