Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Una academia de inglés cobra una cuota de 50 euros mensuales y tiene 200 estudiantes. Un estudio de mercado afirma que por cada 2 euros que se sube (o se baja) la cuota se pierden (o se ganan) 10 estudiantes.

a) Escriba el número de estudiantes de la academia en función del precio de la cuota. [3 puntos]

b) ¿Para qué valor de la cuota la academia se quedaría sin estudiantes? [2 puntos]

c) Determine en qué precio hay que fijar la cuota para obtener un ingreso mensual máximo. ¿Cuál sería este ingreso y cuántos estudiantes tendría la academia? [5 puntos]

$\textbf{a) Escriba el número de estudiantes de la academia en función del precio de la cuota. [3 puntos]}$

Llamamos $p$ al precio de la cuota, en euros, y $E(p)$ al número de estudiantes.

El punto de partida es que con una cuota de 50 € hay 200 estudiantes, y que cada subida de 2 € cuesta 10 estudiantes. El número de subidas de 2 € que hay entre 50 y $p$ es

$\dfrac{p-50}{2}$

Restamos 10 estudiantes por cada una de esas subidas.

$E(p)=200-10\cdot\dfrac{p-50}{2}=200-5(p-50)$

$E(p)=200-5p+250 \Rightarrow E(p)=450-5p$

La expresión sirve también para las bajadas, porque el enunciado dice que por cada 2 € que se baja se ganan 10 estudiantes. Comprobamos con los datos:

$E(50)=450-250=200,\qquad E(52)=450-260=190,\qquad E(48)=450-240=210$

La función es $E(p)=450-5p$: cada euro de subida cuesta 5 estudiantes.

$\textbf{b) ¿Para qué valor de la cuota la academia se quedaría sin estudiantes? [2 puntos]}$

Se plantea la ecuación $E(p)=0$ y se despeja.

$450-5p=0 \Rightarrow 5p=450 \Rightarrow p=90$

Con una cuota de 90 € la academia se quedaría sin estudiantes. Ese valor acota por arriba el precio con sentido en el problema: $0\leq p\leq 90$.

$\textbf{c) Determine en qué precio hay que fijar la cuota para obtener un ingreso mensual máximo. ¿Cuál sería este ingreso y cuántos estudiantes tendría la academia? [5 puntos]}$

El ingreso mensual es el producto de la cuota por el número de estudiantes.

$I(p)=p\cdot E(p)=p(450-5p)=450p-5p^2$

Es una parábola con las ramas hacia abajo, luego tiene un máximo. Derivamos e igualamos a cero.

$I'(p)=450-10p$

$I'(p)=0 \Rightarrow 450-10p=0 \Rightarrow p=\dfrac{450}{10}=45$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$I''(p)=-10 \Rightarrow I''(45)=-10<0$

Calculamos el número de estudiantes y el ingreso con esa cuota.

$E(45)=450-5\cdot 45=450-225=225 \ \text{estudiantes}$

$I(45)=45\cdot 225=10\,125 \ \text{€}$

Hay que fijar la cuota en 45 €, es decir, bajarla 5 € respecto de los 50 € actuales. Con ella la academia tendría 225 estudiantes y el ingreso mensual sería de 10 125 €, por encima de los $50\cdot 200=10\,000$ € que se ingresan ahora.