Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices

$X = \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix},$

a) Encuentre los valores de $k$ para los cuales $Y$ es invertible. [3 puntos]

b) Encuentre la inversa de $Y$ para $k = 1$. [3 puntos]

c) Determine los valores de $m$ y $n$ para los cuales la matriz $X$ cumple

$X^2 - 4X + n\,Id = 0,$

donde $Id$ denota la matriz identidad $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $0$ la matriz nula $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. [4 puntos]

$\textbf{a) Encuentre los valores de } \boldsymbol{k}\textbf{ para los cuales } \boldsymbol{Y}\textbf{ es invertible. [3 puntos]}$

Una matriz cuadrada es invertible cuando su determinante es distinto de cero, así que se calcula el determinante y se estudia cuándo se anula.

$|Y|=\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix}=-1\cdot k-2\cdot 2=-k-4$

$|Y|=0 \Rightarrow -k-4=0 \Rightarrow k=-4$

La matriz $Y$ es invertible para todo $k\neq -4$. Para $k=-4$ el determinante se anula y no existe la inversa.

$\textbf{b) Encuentre la inversa de } \boldsymbol{Y}\textbf{ para } \boldsymbol{k = 1}\textbf{. [3 puntos]}$

Con $k=1$ la matriz y su determinante son

$Y=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |Y|=-1-4=-5\neq 0$

Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante.

$Y^{-1}=\dfrac{1}{|Y|}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}=-\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

$Y^{-1}=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} \\[4pt] \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix}$

Comprobamos que el producto da la identidad.

$Y\cdot Y^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} \\[4pt] \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5} & -\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5} \\[4pt] -\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5} & \dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{c) Determine los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ y } \boldsymbol{n}\textbf{ para los cuales la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ cumple } \boldsymbol{X^2 - 4X + n\,Id = 0}\textbf{. [4 puntos]}$

La matriz $X$ es diagonal, y las potencias de una matriz diagonal se calculan elevando cada elemento de la diagonal.

$X=\begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow X^2=\begin{pmatrix} m^2 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$

Montamos la expresión completa.

$X^2-4X+n\,Id= \begin{pmatrix} m^2 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 4m & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n & 0 \\ 0 & n \end{pmatrix}$

$X^2-4X+n\,Id= \begin{pmatrix} m^2-4m+n & 0 \\ 0 & 9-12+n \end{pmatrix}$

Igualamos a la matriz nula elemento a elemento. Los de fuera de la diagonal ya son cero, así que quedan dos ecuaciones.

$\begin{cases} m^2-4m+n=0 \\ 9-12+n=0 \end{cases}$

La segunda ecuación da directamente $n$.

$n-3=0 \Rightarrow n=3$

Se sustituye en la primera y se resuelve la ecuación de segundo grado.

$m^2-4m+3=0 \Rightarrow m=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2}$

$\begin{cases} m=3 \\ m=1 \end{cases}$

Comprobamos con $m=1$ y $n=3$: $1-4+3=0$ y $9-12+3=0$.

La igualdad se cumple para $n=3$ con $m=1$ o $m=3$. El valor $m=3$ es el que hace que $X$ sea $3\,Id$.