Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

En una cierta empresa de exportación, el 62,5 % de los empleados habla inglés. Por otra parte, entre los empleados que hablan inglés, el 80 % habla también alemán. Entre los empleados que no hablan inglés, solo la tercera parte sí que habla alemán.

a) ¿Qué porcentaje de empleados habla las dos lenguas? [4 puntos]

b) ¿Qué porcentaje de empleados habla alemán? [3 puntos]

c) Si un empleado no habla alemán, ¿cuál es la probabilidad de que hable inglés? [3 puntos]

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de empleados habla las dos lenguas? [4 puntos]}$

Llamamos $I$ al suceso «hablar inglés» y $A$ al suceso «hablar alemán». Los datos del enunciado son:

$P(I)=0{,}625 \Rightarrow P(\overline{I})=1-0{,}625=0{,}375$

$P(A/I)=0{,}80,\qquad P(A/\overline{I})=\dfrac{1}{3}$

Hacemos un diagrama de árbol.



Hablar las dos lenguas es la intersección, y se obtiene recorriendo la rama correspondiente del árbol.

$P(I\cap A)=P(I)\cdot P(A/I)=0{,}625\cdot 0{,}80=0{,}5$

El 50 % de los empleados habla las dos lenguas.

$\textbf{b) ¿Qué porcentaje de empleados habla alemán? [3 puntos]}$

Los sucesos $I$ y $\overline{I}$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total: se recorren las dos ramas que acaban en «habla alemán» y se suman sus productos.

$P(A)=P(I)\cdot P(A/I)+P(\overline{I})\cdot P(A/\overline{I})$

$P(A)=0{,}625\cdot 0{,}80+0{,}375\cdot\dfrac{1}{3}=0{,}5+0{,}125=0{,}625$

El 62,5 % de los empleados habla alemán, el mismo porcentaje que habla inglés.

$\textbf{c) Si un empleado no habla alemán, ¿cuál es la probabilidad de que hable inglés? [3 puntos]}$

Es una probabilidad a posteriori: se sabe el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Utilizamos el teorema de Bayes.

$P(I/\overline{A})=\dfrac{P(I\cap\overline{A})}{P(\overline{A})}$

Calculamos por separado el numerador y el denominador.

$P(I\cap\overline{A})=P(I)\cdot P(\overline{A}/I)=0{,}625\cdot 0{,}20=0{,}125$

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}625=0{,}375$

$P(I/\overline{A})=\dfrac{0{,}125}{0{,}375}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333$

Si un empleado no habla alemán, la probabilidad de que hable inglés es de $1/3\approx 0{,}3333$, es decir, un 33,33 %. Es bastante menor que el 62,5 % de partida, y era esperable: la mayoría de los que hablan inglés hablan también alemán, así que saber que alguien no habla alemán lo empuja hacia el grupo de los que no hablan inglés.