Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Si el precio de la entrada de un cine es de 8 euros, van 500 personas. El propietario sabe por experiencia que por cada aumento de 1,5 euros en el precio de la entrada van 30 espectadores menos. Encuentre:

a) La función que determina el número de espectadores en función del precio de la entrada. [3 puntos]

b) La función que determina los ingresos del cine en función del precio de la entrada. [2 puntos]

c) El precio de la entrada para que los ingresos del propietario sean máximos. [3 puntos]

d) El número de espectadores que irán al cine cuando el precio sea el que corresponde a los ingresos máximos, y estos ingresos máximos. [2 puntos]

$\textbf{a) La función que determina el número de espectadores en función del precio de la entrada. [3 puntos]}$

Llamamos $p$ al precio de la entrada, en euros, y $E(p)$ al número de espectadores.

El punto de partida es que a 8 € van 500 personas, y que cada subida de 1,5 € cuesta 30 espectadores. El número de subidas de 1,5 € que hay entre 8 y $p$ es

$\dfrac{p-8}{1{,}5}$

Restamos 30 espectadores por cada una de esas subidas.

$E(p)=500-30\cdot\dfrac{p-8}{1{,}5}=500-20(p-8)$

$E(p)=500-20p+160 \Rightarrow E(p)=660-20p$

Comprobamos con los datos del enunciado: a 8 € debe dar 500 espectadores, y a 9,5 € (una subida de 1,5 €) debe dar 470.

$E(8)=660-160=500,\qquad E(9{,}5)=660-190=470$

La función es $E(p)=660-20p$: cada euro de subida cuesta 20 espectadores.

$\textbf{b) La función que determina los ingresos del cine en función del precio de la entrada. [2 puntos]}$

Los ingresos son el producto del precio de la entrada por el número de entradas vendidas.

$I(p)=p\cdot E(p)=p(660-20p)$

$I(p)=660p-20p^2$

Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo, de manera que tiene un máximo.

$\textbf{c) El precio de la entrada para que los ingresos del propietario sean máximos. [3 puntos]}$

Derivamos la función de ingresos e igualamos a cero.

$I'(p)=660-40p$

$I'(p)=0 \Rightarrow 660-40p=0 \Rightarrow p=\dfrac{660}{40}=16{,}5$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$I''(p)=-40 \Rightarrow I''(16{,}5)=-40<0$

El precio de la entrada que hace máximos los ingresos es de 16,50 €.

$\textbf{d) El número de espectadores que irán al cine cuando el precio sea el que corresponde a los ingresos máximos, y estos ingresos máximos. [2 puntos]}$

Sustituimos $p=16{,}5$ en las dos funciones de los apartados anteriores.

$E(16{,}5)=660-20\cdot 16{,}5=660-330=330 \ \text{espectadores}$

$I(16{,}5)=16{,}5\cdot 330=5445 \ \text{€}$

Con la entrada a 16,50 € irán 330 espectadores y los ingresos serán de 5445 €, que es el máximo posible. Nótese que ese precio deja el cine a media capacidad respecto de los 500 espectadores iniciales, y aun así se recauda más que los $8\cdot 500=4000$ € de partida.