Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

El gasto mensual en euros en lotería de un trabajador viene determinado por su salario mediante la función

$f(x) = \dfrac{100x}{b + x^2},$

en la que $x \ge 0$ representa el salario en miles de euros y $b > 0$ es un parámetro.

a) Encuentre el valor de $b$ para el cual el máximo del gasto se obtiene con un salario de 2 mil euros. [3 puntos]

b) Para $b = 9$, determine el salario para el cual el gasto es máximo. ¿A cuánto asciende este gasto? [4 puntos]

c) Para $b = 9$, ¿para qué salarios el gasto mensual es superior a 10 euros? [3 puntos]

$\textbf{a) Encuentre el valor de } \boldsymbol{b}\textbf{ para el cual el máximo del gasto se obtiene con un salario de 2 mil euros. [3 puntos]}$

Derivamos la función, que es un cociente, aplicando la regla correspondiente.

$f(x)=\dfrac{100x}{b+x^2} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{100\left(b+x^2\right)-100x\cdot 2x}{\left(b+x^2\right)^2}$

$f'(x)=\dfrac{100b+100x^2-200x^2}{\left(b+x^2\right)^2}=\dfrac{100\left(b-x^2\right)}{\left(b+x^2\right)^2}$

El denominador es un cuadrado y no se anula, porque $b>0$; los puntos críticos salen del numerador.

$f'(x)=0 \Rightarrow b-x^2=0 \Rightarrow x^2=b \Rightarrow x=\sqrt{b}$

Se descarta la raíz negativa porque el salario cumple $x\geq 0$. Imponemos que el máximo esté en $x=2$.

$\sqrt{b}=2 \Rightarrow b=4$

El valor del parámetro es $b=4$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{b = 9}\textbf{, determine el salario para el cual el gasto es máximo. ¿A cuánto asciende este gasto? [4 puntos]}$

Con $b=9$ la función y su derivada quedan

$f(x)=\dfrac{100x}{9+x^2},\qquad f'(x)=\dfrac{100\left(9-x^2\right)}{\left(9+x^2\right)^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow 9-x^2=0 \Rightarrow x=3$

Comprobamos que es un máximo con un estudio de signos de la derivada. Como el denominador es siempre positivo, el signo lo marca $9-x^2$.

$\text{Si } x=1,\quad 9-1=8>0 \Rightarrow f'(1)>0$

$\text{Si } x=4,\quad 9-16=-7<0 \Rightarrow f'(4)<0$



La función pasa de crecer a decrecer en $x=3$, luego ahí hay un máximo. Calculamos el gasto.

$f(3)=\dfrac{100\cdot 3}{9+3^2}=\dfrac{300}{18}=\dfrac{50}{3}\approx 16{,}67$

El gasto es máximo con un salario de 3 mil euros, y asciende a $50/3\approx 16{,}67$ euros al mes.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{b = 9}\textbf{, ¿para qué salarios el gasto mensual es superior a 10 euros? [3 puntos]}$

Se plantea la inecuación correspondiente.

$\dfrac{100x}{9+x^2}>10$

El denominador $9+x^2$ es siempre positivo, de modo que se puede multiplicar por él sin cambiar el sentido de la desigualdad.

$100x>10\left(9+x^2\right) \Rightarrow 10x>9+x^2$

$x^2-10x+9<0$

Resolvemos la ecuación asociada para factorizar.

$x^2-10x+9=0 \Rightarrow x=\dfrac{10\pm\sqrt{100-36}}{2}=\dfrac{10\pm 8}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=9 \end{cases}$

$(x-1)(x-9)<0$

Un producto de dos factores es negativo cuando tienen signos distintos, lo que ocurre entre las dos raíces. Se comprueba con un valor de prueba en cada tramo.

$\text{Si } x=0,\quad (0-1)(0-9)=9>0$

$\text{Si } x=5,\quad (5-1)(5-9)=-16<0$

$\text{Si } x=10,\quad (10-1)(10-9)=9>0$

El gasto mensual es superior a 10 euros para los salarios comprendidos entre 1 y 9 mil euros, es decir, para $x\in(1,9)$. Los dos extremos quedan fuera porque en ellos el gasto es exactamente de 10 euros.