Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Considere la función a trozos siguiente

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 0, \\ x^3 + ax + 2 & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$

a) Calcule los valores de $a$ para que $f(x)$ sea continua y derivable. [5 puntos]

b) Para $a = 4$ calcule el área comprendida entre la gráfica de $f(x)$ y las rectas $x = 0$, $x = 1$ e $y = 0$. [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua y derivable. [5 puntos]}$

Dentro de cada trozo la función es un polinomio, y los polinomios son continuos y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto dudoso es el empalme, $x=0$.

Empezamos por la continuidad, igualando los dos límites laterales.

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\left(x^2-3x+2\right)=0-0+2=2$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\left(x^3+ax+2\right)=0+0+2=2$

Los dos límites valen 2 y coinciden con $f(0)=2$, sea cual sea el valor de $a$: el parámetro va multiplicado por $x$ y en $x=0$ desaparece.

$f(x) \ \text{es continua para todo } a\in\mathbb{R}$

Para la derivabilidad se derivan los dos trozos y se igualan las derivadas laterales en $x=0$.

$f'(x)= \begin{cases} 2x-3, & x<0 \\ 3x^2+a, & x>0 \end{cases}$

$f'(0^-)=2\cdot 0-3=-3$

$f'(0^+)=3\cdot 0^2+a=a$

$f'(0^-)=f'(0^+) \Rightarrow -3=a \Rightarrow a=-3$

La función es continua para cualquier valor de $a$, y es derivable únicamente para $a=-3$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 4}\textbf{ calcule el área comprendida entre la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x = 0}\textbf{, } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ e } \boldsymbol{y = 0}\textbf{. [5 puntos]}$

El recinto está entre $x=0$ y $x=1$, es decir, enteramente en el segundo trozo, que con $a=4$ es

$f(x)=x^3+4x+2$

Comprobamos primero el signo de la función en el intervalo, para saber si la integral da directamente el área.

$f(0)=2>0,\qquad f(1)=1+4+2=7>0$

La función es creciente ahí ($f'(x)=3x^2+4>0$) y arranca en 2, luego es positiva en todo $[0,1]$ y el recinto queda por encima del eje de abscisas. El área es entonces la integral definida.

$\text{Área}=\int_{0}^{1}\left(x^3+4x+2\right)dx$

$=\left[\dfrac{x^4}{4}+4\cdot\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{0}^{1}=\left[\dfrac{x^4}{4}+2x^2+2x\right]_{0}^{1}$

$=\left(\dfrac{1}{4}+2+2\right)-0=\dfrac{1}{4}+4=\dfrac{17}{4}$

$\text{Área}=\dfrac{17}{4}=4{,}25 \ \text{unidades de área}$

El área pedida es de $17/4=4{,}25$ unidades de área.