Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En un taller se fabrican dos tipos de bolsos. Para hacer un bolso del primer modelo se necesitan 0,9 $\text{m}^2$ de cuero y 8 horas de trabajo. Para el segundo modelo se necesitan 1,2 $\text{m}^2$ de cuero y 4 horas de trabajo. Para hacer estos dos tipos de bolsos el taller dispone de 60 $\text{m}^2$ de cuero y puede dedicarles un máximo de 400 horas de trabajo. El taller cobra 30 euros por un bolso del primer modelo y 25 por uno del segundo.

a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de bolsos de cada tipo que se han de fabricar para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

$\textbf{a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de bolsos del primer modelo e $y$ al número de bolsos del segundo.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Cuero (m}^2)$	$\text{Horas}$	$\text{Ingresos (€)}$ $\text{Modelo 1 } (x)$	$0{,}9x$	$8x$	$30x$ $\text{Modelo 2 } (y)$	$1{,}2y$	$4y$	$25y$ $\text{Disponible}$	60	400	$$

La función objetivo es el beneficio, y hay que maximizarla.

$B(x,y)=30x+25y$

Las restricciones son las de cuero y de horas de trabajo.

El taller dispone de 60 m² de cuero $\Rightarrow$ $0{,}9x+1{,}2y\leq 60$, que multiplicando por 10 y dividiendo entre 3 queda $3x+4y\leq 200$.

Puede dedicar como máximo 400 horas $\Rightarrow$ $8x+4y\leq 400$, que dividiendo entre 4 queda $2x+y\leq 100$.

El número de bolsos no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

$\text{Maximizar } B(x,y)=30x+25y \quad\text{sujeto a}\quad \begin{cases} 3x+4y\leq 200 \\ 2x+y\leq 100 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]}$

Dibujamos las dos rectas con una tabla de valores de cada una.

$3x+4y=200$	$2x+y=100$ $(0,50)$	$(0,100)$ $(40,20)$	$(40,20)$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\begin{cases} 3x+4y=200 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow 4y=200 \Rightarrow y=50 \Rightarrow A(0,50)$

Vértice $B$: $\begin{cases} 3x+4y=200 \\ 2x+y=100 \end{cases}$ $\Rightarrow$ despejamos $y=100-2x$ y sustituimos:

$3x+4(100-2x)=200 \Rightarrow 3x+400-8x=200 \Rightarrow -5x=-200 \Rightarrow x=40$

$y=100-80=20 \Rightarrow B(40,20)$

Vértice $C$: $\begin{cases} 2x+y=100 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow 2x=100 \Rightarrow x=50 \Rightarrow C(50,0)$

El punto $(200/3;\,0)$, donde la recta del cuero corta el eje de abscisas, no es vértice del recinto: con esos bolsos harían falta más de las 400 horas disponibles.

$\textbf{c) Calcule el número de bolsos de cada tipo que se han de fabricar para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]}$

Valoramos la función beneficio en los cuatro vértices.

$O(0,0) \Rightarrow B=0$

$A(0,50) \Rightarrow B=25\cdot 50=1250$

$B(40,20) \Rightarrow B=30\cdot 40+25\cdot 20=1200+500=1700$

$C(50,0) \Rightarrow B=30\cdot 50=1500$

Se han de fabricar 40 bolsos del primer modelo y 20 del segundo, y el beneficio máximo es de 1700 €. Con esa combinación se agotan los dos recursos: $0{,}9\cdot 40+1{,}2\cdot 20=36+24=60$ m² de cuero y $8\cdot 40+4\cdot 20=320+80=400$ horas.