Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Hace un año una sociedad de capital de riesgo invirtió 100000 euros en acciones de tres empresas, que llamaremos A, B y C. Ahora, las acciones de la empresa A han aumentado de valor en un 50 %, las de la empresa B han aumentado en un 10 % y, en cambio, las de la empresa C han perdido un 15 % de su valor. Si la sociedad vendiese ahora todas las acciones obtendría 102000 euros. Sabemos que invirtió en las acciones de la empresa C lo mismo que en las otras dos juntas.

a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [5 puntos]

b) Calcule la cantidad de dinero que la sociedad invirtió en acciones de cada empresa. [5 puntos]

$\textbf{a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [5 puntos]}$

Llamamos $x$ a los euros invertidos en acciones de la empresa A, $y$ a los invertidos en la empresa B y $z$ a los invertidos en la empresa C.

La inversión total fue de 100 000 euros.

$x+y+z=100\,000$

Al venderlo todo se obtendrían 102 000 euros. Cada inversión se ha revalorizado según su porcentaje: la de A vale ahora $1{,}5x$, la de B vale $1{,}1y$ y la de C, que ha perdido un 15 %, vale $0{,}85z$.

$1{,}5x+1{,}1y+0{,}85z=102\,000$

En la empresa C se invirtió lo mismo que en las otras dos juntas.

$z=x+y$

El sistema de ecuaciones lineales que traduce el enunciado es

$\begin{cases} x+y+z=100\,000 \\ 1{,}5x+1{,}1y+0{,}85z=102\,000 \\ z=x+y \end{cases}$

$\textbf{b) Calcule la cantidad de dinero que la sociedad invirtió en acciones de cada empresa. [5 puntos]}$

La tercera ecuación se sustituye en la primera y se obtiene $z$ de golpe.

$(x+y)+z=100\,000 \quad\text{y}\quad x+y=z \Rightarrow z+z=100\,000$

$2z=100\,000 \Rightarrow z=50\,000 \Rightarrow x+y=50\,000$

Llevamos $z=50\,000$ a la segunda ecuación.

$1{,}5x+1{,}1y+0{,}85\cdot 50\,000=102\,000$

$1{,}5x+1{,}1y+42\,500=102\,000 \Rightarrow 1{,}5x+1{,}1y=59\,500$

Sustituimos $y=50\,000-x$.

$1{,}5x+1{,}1(50\,000-x)=59\,500 \Rightarrow 1{,}5x+55\,000-1{,}1x=59\,500$

$0{,}4x=4500 \Rightarrow x=\dfrac{4500}{0{,}4}=11\,250$

$y=50\,000-11\,250=38\,750$

Comprobamos el valor actual de la cartera.

$1{,}5\cdot 11\,250+1{,}1\cdot 38\,750+0{,}85\cdot 50\,000=16\,875+42\,625+42\,500=102\,000$

La sociedad invirtió 11 250 € en acciones de la empresa A, 38 750 € en la empresa B y 50 000 € en la empresa C.