Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Tiramos una moneda al aire 100 veces, y han salido 46 veces cara y 54 veces cruz. Un estudiante cree que la moneda no está trucada y propone aproximar el número de caras que salen en 100 tiradas como una variable aleatoria con distribución normal $N(\mu = 50,\ \sigma = 5)$.

a) Según la distribución propuesta, ¿cuál habría sido la probabilidad de obtener 60 caras o más? [3 puntos]

b) Calcule el intervalo de confianza que contenga el 90 % de los valores más probables que aparecen en la distribución propuesta. ¿Es razonable la hipótesis de que la moneda no está trucada? [4 puntos]

Ahora tiraremos otra moneda al aire 100 veces, y el número de caras que obtendremos también seguirá una distribución normal $N(\mu = 50,\ \sigma = 5)$. Sospecharemos que la moneda está trucada si el número de caras no está contenido en el intervalo calculado en el apartado anterior.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sospechemos que la moneda está trucada? [3 puntos]

$\textbf{a) Según la distribución propuesta, ¿cuál habría sido la probabilidad de obtener 60 caras o más? [3 puntos]}$

Llamamos $X$ al número de caras que salen en 100 tiradas. Según el modelo que propone el estudiante,

$X\sim N(50\,;\,5)$

Tipificamos el valor 60.

$P(X\geq 60)=P\left(Z\geq\dfrac{60-50}{5}\right)=P(Z\geq 2)$

La tabla da probabilidades acumuladas, de modo que la cola de la derecha se obtiene restando de 1.

$P(Z\geq 2)=1-P(Z\leq 2)=1-0{,}9772=0{,}0228$

La probabilidad de obtener 60 caras o más habría sido de $0{,}0228$, es decir, un 2,28 %.



$\textbf{b) Calcule el intervalo de confianza que contenga el 90 \% de los valores más probables que aparecen en la distribución propuesta. ¿Es razonable la hipótesis de que la moneda no está trucada? [4 puntos]}$

Los valores más probables son los que rodean la media, así que se busca un intervalo centrado en ella que se lleve el 90 % de la probabilidad, dejando un 5 % en cada cola.

$1-\alpha=0{,}90 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}05 \Rightarrow P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=0{,}95$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor 0,95 cae justo entre dos filas, de modo que se toma el punto medio.

$z$	$P(Z\leq z)$ 1,64	0,9495 1,65	0,9505

$z_{\alpha/2}=\dfrac{1{,}64+1{,}65}{2}=1{,}645$

Aquí no se estima ninguna media a partir de una muestra: la distribución es conocida, así que el error se mide con la desviación típica de la propia variable.

$E=z_{\alpha/2}\cdot\sigma=1{,}645\cdot 5=8{,}225$

$IC=(50-8{,}225,\ 50+8{,}225)=(41{,}775,\ 58{,}225)$

El intervalo que contiene el 90 % de los valores más probables es $(41{,}775,\ 58{,}225)$, es decir, de 42 a 58 caras. El resultado observado, 46 caras, cae dentro del intervalo, luego no hay motivo para dudar del modelo: la hipótesis de que la moneda no está trucada es razonable.



$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que sospechemos que la moneda está trucada? [3 puntos]}$

Sospechar significa que el número de caras cae fuera del intervalo del apartado anterior, así que se pide la probabilidad del suceso contrario a «caer dentro».

$P(\text{sospechar})=P\left(X\notin(41{,}775,\ 58{,}225)\right)=1-P\left(41{,}775<X<58{,}225\right)$

Y ese intervalo se construyó justamente para que contuviera el 90 % de la probabilidad.

$P\left(41{,}775<X<58{,}225\right)=0{,}90$

$P(\text{sospechar})=1-0{,}90=0{,}10$

La probabilidad de sospechar que la moneda está trucada es de $0{,}10$, es decir, un 10 %. Y eso ocurre aunque la moneda sea perfectamente legal: es el 10 % que se dejó fuera al construir el intervalo, repartido entre las dos colas. Conviene retenerlo, porque es el precio de este tipo de decisiones: una de cada diez monedas correctas será señalada por error.