Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

En una población:

— las alturas de los hombres siguen una distribución normal de media 1,76 metros y desviación típica 0,12 metros; y

— las alturas de las mujeres siguen una distribución normal de media 1,62 metros y desviación típica 0,11 metros.

Se pide:

a) Escogemos un hombre al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que su altura sea mayor o igual que 1,76 metros? [3 puntos]

b) Escogemos una mujer al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que su altura sea mayor o igual que 1,76 metros? [4 puntos]

c) ¿Qué es más probable: que un hombre tenga una altura inferior a 1,76 metros, o que una mujer tenga una altura inferior a 1,76 metros? [3 puntos]

$\textbf{a) Escogemos un hombre al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que su altura sea mayor o igual que 1,76 metros? [3 puntos]}$

Llamamos $H$ a la altura de un hombre escogido al azar, que sigue una normal de media 1,76 m y desviación típica 0,12 m.

$H\sim N(1{,}76\,;\,0{,}12)$

El valor por el que se pregunta es justamente la media, de modo que al tipificar sale cero.

$P(H\geq 1{,}76)=P\left(Z\geq\dfrac{1{,}76-1{,}76}{0{,}12}\right)=P(Z\geq 0)$

La campana de Gauss es simétrica respecto de la media, así que a cada lado de ella queda la mitad de la probabilidad.

$P(Z\geq 0)=0{,}5$

La probabilidad de que un hombre escogido al azar mida 1,76 metros o más es de $0{,}5$, es decir, un 50 %. No hace falta ni mirar la tabla: 1,76 m es la altura media de los hombres.



$\textbf{b) Escogemos una mujer al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que su altura sea mayor o igual que 1,76 metros? [4 puntos]}$

Llamamos $M$ a la altura de una mujer escogida al azar, que sigue otra normal, con media y desviación típica distintas.

$M\sim N(1{,}62\,;\,0{,}11)$

Tipificamos el valor 1,76 con los parámetros de esta distribución.

$P(M\geq 1{,}76)=P\left(Z\geq\dfrac{1{,}76-1{,}62}{0{,}11}\right)=P\left(Z\geq\dfrac{0{,}14}{0{,}11}\right)$

$\dfrac{0{,}14}{0{,}11}=1{,}2727\ldots\approx 1{,}27$

La tabla da probabilidades acumuladas, así que se pasa a la cola de la derecha restando de 1.

$P(Z\geq 1{,}27)=1-P(Z\leq 1{,}27)=1-0{,}8980=0{,}1020$

La probabilidad de que una mujer escogida al azar mida 1,76 metros o más es de $0{,}1020$, es decir, un 10,20 %.



$\textbf{c) ¿Qué es más probable: que un hombre tenga una altura inferior a 1,76 metros, o que una mujer tenga una altura inferior a 1,76 metros? [3 puntos]}$

Las dos probabilidades son las contrarias de las que se han calculado en los apartados a) y b), así que no hace falta volver a tipificar nada.

$P(H<1{,}76)=1-P(H\geq 1{,}76)=1-0{,}5=0{,}5$

$P(M<1{,}76)=1-P(M\geq 1{,}76)=1-0{,}1020=0{,}8980$

$0{,}8980>0{,}5$

Es más probable que una mujer mida menos de 1,76 metros ($0{,}8980$, un 89,80 %) que un hombre ($0{,}5$, un 50 %). Era previsible: 1,76 m es la media de los hombres, con lo que la mitad quedan por debajo, mientras que para las mujeres es una altura que está a más de una desviación típica por encima de su media.