Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Tiramos dos dados no trucados. Considere los sucesos siguientes:

$A$: en el primer dado ha salido un 1.

$B$: en el segundo dado ha salido un 1.

$C$: la suma de los valores de los dos dados es 3.

a) Calcule $P(A)$. [3 puntos]

b) Calcule $P(A \cup B)$. [3 puntos]

c) ¿Son $C$ y $A \cup B$ sucesos independientes? [4 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{P(A)}\textbf{. [3 puntos]}$

Al tirar dos dados no trucados, el espacio muestral son los pares ordenados de resultados, y todos ellos son equiprobables.

$n(E)=6\cdot 6=36 \ \text{casos posibles}$

El suceso $A$ pide que el primer dado sea un 1; el segundo puede ser cualquiera de sus seis caras.

$n(A)=1\cdot 6=6 \ \text{casos favorables}$

$P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667$

La probabilidad de que en el primer dado salga un 1 es de $1/6$, como era de esperar: el resultado del segundo dado no influye.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{P(A \cup B)}\textbf{. [3 puntos]}$

Por el mismo razonamiento del apartado a), $P(B)=1/6$. Los dos sucesos no son incompatibles, porque pueden salir dos unos a la vez, así que hay que usar la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

La intersección es el suceso «sale un 1 en los dos dados», que es un único caso de los 36.

$P(A\cap B)=\dfrac{1}{36}$

$P(A\cup B)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{6}{36}+\dfrac{6}{36}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{11}{36}$



La probabilidad de que salga al menos un 1 es de $11/36\approx 0{,}3056$. Nótese que no es $2/6$: si se sumasen las dos probabilidades sin más, el caso $(1,1)$ se contaría dos veces.

$\textbf{c) ¿Son } \boldsymbol{C}\textbf{ y } \boldsymbol{A \cup B}\textbf{ sucesos independientes? [4 puntos]}$

Primero se identifica el suceso $C$, que reúne los casos en los que la suma de los dos dados es 3.

$C=\{(1,2),(2,1)\} \Rightarrow P(C)=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$

Ahora la intersección. Los dos casos de $C$ llevan un 1: en $(1,2)$ el 1 está en el primer dado, luego pertenece a $A$, y en $(2,1)$ está en el segundo, luego pertenece a $B$. Por tanto $C$ está enteramente contenido en $A\cup B$.

$C\subset A\cup B \Rightarrow C\cap(A\cup B)=C \Rightarrow P\left(C\cap(A\cup B)\right)=\dfrac{1}{18}$

Comparamos con el producto de las probabilidades.

$P(C)\cdot P(A\cup B)=\dfrac{1}{18}\cdot\dfrac{11}{36}=\dfrac{11}{648}\approx 0{,}0170$

$P\left(C\cap(A\cup B)\right)=\dfrac{1}{18}=\dfrac{36}{648}\approx 0{,}0556\neq\dfrac{11}{648}$

No son independientes. La dependencia es total, de hecho: siempre que la suma vale 3 ha salido un 1, así que saber que ha ocurrido $C$ convierte en seguro el suceso $A\cup B$.

$P\left((A\cup B)/C\right)=\dfrac{P\left(C\cap(A\cup B)\right)}{P(C)}=\dfrac{1/18}{1/18}=1\neq\dfrac{11}{36}$