Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Una maleta rectangular tiene tres medidas (anchura, altura y profundidad), y su volumen es el producto de las tres medidas. Queremos diseñar una maleta rectangular de 30 cm de profundidad, y tal que la suma de la anchura, la altura y la profundidad sea exactamente 110 cm. ¿Cuál es el volumen máximo que puede tener esta maleta? [10 puntos]

$\textbf{Una maleta rectangular tiene tres medidas (anchura, altura y profundidad), y su volumen es el producto de las tres medidas. Queremos diseñar una maleta rectangular de 30 cm de profundidad, y tal que la suma de la anchura, la altura y la profundidad sea exactamente 110 cm. ¿Cuál es el volumen máximo que puede tener esta maleta? [10 puntos]}$

Llamamos $x$ a la anchura de la maleta y $y$ a su altura, las dos en centímetros. La profundidad es un dato, 30 cm.



La condición del enunciado relaciona las dos incógnitas, y eso permite dejar el volumen en función de una sola variable.

$x+y+30=110 \Rightarrow x+y=80 \Rightarrow y=80-x$

El volumen es el producto de las tres medidas.

$V=x\cdot y\cdot 30=30\,x\,(80-x)$

$V(x)=2400x-30x^2$

Las dos medidas han de ser positivas, así que la variable se mueve en un intervalo acotado.

$x>0 \quad\text{y}\quad y=80-x>0 \Rightarrow 0<x<80$

Para buscar el máximo derivamos e igualamos a cero.

$V'(x)=2400-60x$

$V'(x)=0 \Rightarrow 2400-60x=0 \Rightarrow x=\dfrac{2400}{60}=40$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$V''(x)=-60 \Rightarrow V''(40)=-60<0$

Se trata en efecto de un máximo, y al ser el único punto crítico de una parábola con las ramas hacia abajo es el máximo absoluto en el intervalo. Calculamos la otra medida y el volumen.

$y=80-40=40 \ \text{cm}$

$V(40)=30\cdot 40\cdot 40=48\,000 \ \text{cm}^3$



El volumen máximo es de 48 000 cm³, es decir, 48 litros, y se consigue con una maleta de 40 cm de anchura, 40 cm de altura y 30 cm de profundidad. El resultado es el esperable: repartido un perímetro fijo entre dos medidas, el producto se hace máximo cuando las dos son iguales, de manera que la cara frontal de la maleta sale cuadrada.