Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Para estudiar la vida de las tortugas marinas, hemos recopilado la edad que alcanzaron algunos ejemplares que murieron por causas naturales, y hemos obtenido (en años):

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$x_8$	$\bar{x}$ 55	62	69	70	72	77	94	103	75,25

Suponiendo que estos datos siguen una distribución normal, y que su desviación típica poblacional es de $\sigma = 20$ años,

a) Calcule el intervalo de confianza para la media poblacional con el 90 % de confianza. [4 puntos]

Supongamos ahora, además, que la media poblacional es de $\mu = 75{,}25$.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida? [3 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida, pero no los 100 años de vida? [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule el intervalo de confianza para la media poblacional con el 90 \% de confianza. [4 puntos]}$

La muestra tiene $n=8$ ejemplares y su media, que nos da el enunciado, es $\overline{x}=75{,}25$ años. La desviación típica poblacional es conocida, $\sigma=20$ años, de manera que la media de la muestra se distribuye así:

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),\qquad \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{20}{\sqrt{8}}\approx 7{,}07 \ \text{años}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Buscamos el valor crítico. Con una confianza del 90 % queda fuera el 10 %, repartido entre las dos colas.

$1-\alpha=0{,}90 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}05 \Rightarrow P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=0{,}95$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor 0,95 cae justo entre dos filas, de modo que se toma el punto medio.

$z$	$P(Z\leq z)$ 1,64	0,9495 1,65	0,9505

$z_{\alpha/2}=\dfrac{1{,}64+1{,}65}{2}=1{,}645$

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}645\cdot\dfrac{20}{\sqrt{8}}\approx 1{,}645\cdot 7{,}071\approx 11{,}63 \ \text{años}$

$IC=(75{,}25-11{,}63,\ 75{,}25+11{,}63)=(63{,}62,\ 86{,}88)$

Con una confianza del 90 %, la vida media de las tortugas marinas está entre 63,62 y 86,88 años. El intervalo es ancho porque la muestra es de solo 8 ejemplares.



$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida? [3 puntos]}$

Ahora se trabaja con la variable individual, no con la media de la muestra.

$X\sim N(75{,}25\,;\,20)$

Tipificamos para poder usar la tabla.

$P(X>80)=P\left(Z>\dfrac{80-75{,}25}{20}\right)=P(Z>0{,}2375)\approx P(Z>0{,}24)$

La tabla da la probabilidad acumulada, así que se pasa a la cola de la derecha restando de 1.

$P(Z>0{,}24)=1-P(Z\leq 0{,}24)=1-0{,}5948=0{,}4052$

La probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida es de $0{,}4052$, es decir, un 40,52 %.



$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida, pero no los 100 años de vida? [3 puntos]}$

Se pide la probabilidad del intervalo $(80,100)$, de modo que se tipifican los dos extremos.

$\dfrac{80-75{,}25}{20}=0{,}2375\approx 0{,}24,\qquad \dfrac{100-75{,}25}{20}=1{,}2375\approx 1{,}24$

$P(80<X<100)=P(0{,}24<Z<1{,}24)=P(Z\leq 1{,}24)-P(Z\leq 0{,}24)$

Leemos las dos probabilidades acumuladas en la tabla.

$P(Z\leq 1{,}24)=0{,}8925,\qquad P(Z\leq 0{,}24)=0{,}5948$

$P(80<X<100)=0{,}8925-0{,}5948=0{,}2977$

La probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años pero no los 100 es de $0{,}2977$, es decir, un 29,77 %. Comparando con el apartado b), de las tortugas que pasan de 80 años casi tres cuartas partes no llegan a los 100.