Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

De un total de $n = 80$ alumnos, el 80 % de alumnos han aprobado un examen de matemáticas, y el 75 % han aprobado un examen de física. Además, de los que han suspendido el examen de matemáticas, solo un 50 % ha aprobado el de física.

a) De los que han suspendido el examen de física, ¿cuántos han aprobado el de matemáticas? [4 puntos]

b) ¿Cuántos alumnos han aprobado alguno de los dos exámenes? [3 puntos]

c) ¿Aprobar el examen de física y aprobar el examen de matemáticas son sucesos independientes? [3 puntos]

$\textbf{a) De los que han suspendido el examen de física, ¿cuántos han aprobado el de matemáticas? [4 puntos]}$

Lo más cómodo es traducir los porcentajes a número de alumnos y rellenar una tabla de doble entrada. Llamamos $M$ al suceso «aprobar matemáticas» y $F$ al suceso «aprobar física».

$n(M)=80\cdot 0{,}80=64 \ \text{alumnos} \Rightarrow n(\overline{M})=80-64=16$

$n(F)=80\cdot 0{,}75=60 \ \text{alumnos} \Rightarrow n(\overline{F})=80-60=20$

El tercer dato es una condicionada: de los 16 que suspendieron matemáticas, la mitad aprobó física.

$n(\overline{M}\cap F)=16\cdot 0{,}50=8 \ \text{alumnos}$

Con esa casilla ya se completa la tabla entera restando por filas y por columnas.

$n(M\cap F)=n(F)-n(\overline{M}\cap F)=60-8=52$

$n(\overline{M}\cap\overline{F})=n(\overline{M})-n(\overline{M}\cap F)=16-8=8$

$n(M\cap\overline{F})=n(\overline{F})-n(\overline{M}\cap\overline{F})=20-8=12$

$$	$\text{Aprueba física}$	$\text{Suspende física}$	$\text{Total}$ $\text{Aprueba matemáticas}$	52	12	64 $\text{Suspende matemáticas}$	8	8	16 $\text{Total}$	60	20	80

De los 20 alumnos que han suspendido física, 12 han aprobado matemáticas.

$\textbf{b) ¿Cuántos alumnos han aprobado alguno de los dos exámenes? [3 puntos]}$

«Alguno de los dos» es la unión, y se puede leer de la tabla de dos maneras. La más rápida es por el contrario: los que no han aprobado ninguno son los 8 de la casilla de abajo a la derecha.

$n(M\cup F)=80-n(\overline{M}\cap\overline{F})=80-8=72$

Se comprueba sumando las tres casillas que sí cuentan, o con la fórmula de la unión.

$n(M\cup F)=52+12+8=72$

$n(M\cup F)=n(M)+n(F)-n(M\cap F)=64+60-52=72$

Han aprobado alguno de los dos exámenes 72 alumnos de los 80.



$\textbf{c) ¿Aprobar el examen de física y aprobar el examen de matemáticas son sucesos independientes? [3 puntos]}$

Pasamos las frecuencias a probabilidades dividiendo entre el total de 80 alumnos.

$P(M)=\dfrac{64}{80}=0{,}8,\qquad P(F)=\dfrac{60}{80}=0{,}75,\qquad P(M\cap F)=\dfrac{52}{80}=0{,}65$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades.

$P(M)\cdot P(F)=0{,}8\cdot 0{,}75=0{,}6$

$P(M\cap F)=0{,}65\neq 0{,}6=P(M)\cdot P(F)$

Los dos sucesos no son independientes. Se ve igual de bien con la condicionada: entre los que aprobaron matemáticas la tasa de aprobados en física es $52/64=0{,}8125$, mientras que en el grupo entero es $0{,}75$; haber aprobado matemáticas hace más probable haber aprobado física.