Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Manel escoge al azar dos cifras entre 0 y 9, que podrían estar repetidas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cifras sean múltiplo de tres? [3 puntos]

b) El producto de las dos cifras es múltiplo de tres si al menos una de las cifras es múltiplo de tres. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de las dos cifras sea múltiplo de tres? [4 puntos]

Ahora, Pep te da su número de teléfono, que contiene nueve cifras también entre 0 y 9, posiblemente repetidas, y que supondremos que son cifras escogidas al azar.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de las nueve cifras sea múltiplo de tres? [3 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cifras sean múltiplo de tres? [3 puntos]}$

Empezamos contando cuántas de las diez cifras posibles son múltiplo de tres.

$\{0,3,6,9\} \Rightarrow 4 \ \text{cifras de las } 10$

Conviene recordar que el 0 es múltiplo de tres, porque $0=3\cdot 0$. Llamamos $M$ al suceso «la cifra escogida es múltiplo de tres» y aplicamos la regla de Laplace.

$P(M)=\dfrac{4}{10}=0{,}4 \Rightarrow P(\overline{M})=1-0{,}4=0{,}6$

Las dos cifras se escogen al azar y pueden repetirse, de modo que las dos elecciones son independientes y la probabilidad de la intersección es el producto.



$P(\text{las dos})=P(M)\cdot P(M)=0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}16$

La probabilidad de que las dos cifras sean múltiplo de tres es de $0{,}16=4/25$, es decir, un 16 %.

$\textbf{b) El producto de las dos cifras es múltiplo de tres si al menos una de las cifras es múltiplo de tres. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de las dos cifras sea múltiplo de tres? [4 puntos]}$

El enunciado nos dice que el suceso pedido es «al menos una de las dos cifras es múltiplo de tres». Como «al menos una» reúne tres de las cuatro ramas del árbol, resulta más corto pasar por el suceso contrario, que es «ninguna de las dos lo es».

$P(\text{ninguna})=P(\overline{M})\cdot P(\overline{M})=0{,}6\cdot 0{,}6=0{,}36$

$P(\text{al menos una})=1-P(\text{ninguna})=1-0{,}36=0{,}64$

La probabilidad de que el producto de las dos cifras sea múltiplo de tres es de $0{,}64=16/25$, es decir, un 64 %.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de las nueve cifras sea múltiplo de tres? [3 puntos]}$

El razonamiento es el mismo del apartado b), pero con nueve cifras en lugar de dos. El producto es múltiplo de tres en cuanto lo sea alguno de los factores, así que se calcula por el suceso contrario: que ninguna de las nueve cifras sea múltiplo de tres.

$P(\text{ninguna})=\left(P(\overline{M})\right)^9=0{,}6^9$

$0{,}6^9\approx 0{,}010078$

$P(\text{al menos una})=1-0{,}6^9\approx 1-0{,}010078=0{,}989922$

La probabilidad de que el producto de las nueve cifras del teléfono sea múltiplo de tres es de $0{,}9899$, es decir, un 98,99 %. Con nueve cifras es casi seguro: bastaría con que una sola de ellas fuese 0, 3, 6 o 9.