Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Considere las funciones:

$f(x) = (x + 2)^3, \qquad g(x) = x^3 + 6x^2 + 12x.$

a) Justifique, calculando, que $f'(x) = g'(x)$. [4 puntos]

b) ¿Es cierto que $f(x) = g(x)$? [3 puntos]

c) Calcule $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}$. [3 puntos]

$\textbf{a) Justifique, calculando, que } \boldsymbol{f'(x) = g'(x)}\textbf{. [4 puntos]}$

Derivamos cada función y comparamos los resultados. Para $f$ se aplica la regla de la cadena a la potencia de un binomio.

$f(x)=(x+2)^3 \Rightarrow f'(x)=3(x+2)^2\cdot 1$

Desarrollamos el cuadrado para poder comparar.

$f'(x)=3\left(x^2+4x+4\right)=3x^2+12x+12$

Ahora $g$, que ya está desarrollada y se deriva término a término.

$g(x)=x^3+6x^2+12x \Rightarrow g'(x)=3x^2+12x+12$

Las dos derivadas son el mismo polinomio.

$f'(x)=3x^2+12x+12=g'(x)$

Queda justificado: las dos funciones tienen exactamente la misma derivada.

$\textbf{b) ¿Es cierto que } \boldsymbol{f(x) = g(x)}\textbf{? [3 puntos]}$

Tener la misma derivada no obliga a ser la misma función: dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Lo comprobamos desarrollando el cubo del binomio.

$f(x)=(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot 2+3x\cdot 2^2+2^3$

$f(x)=x^3+6x^2+12x+8$

Restamos las dos funciones.

$f(x)-g(x)=\left(x^3+6x^2+12x+8\right)-\left(x^3+6x^2+12x\right)=8$

No es cierto que $f(x)=g(x)$: se diferencian en la constante 8, es decir, $f(x)=g(x)+8$ para todo $x$. Gráficamente, la curva de $f$ es la de $g$ desplazada 8 unidades hacia arriba, y por eso tienen la misma pendiente en cada abscisa, que es lo que dice el apartado a).



$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}}\textbf{. [3 puntos]}$

Sustituyendo directamente aparece una indeterminación, porque los dos polinomios tienden a infinito.

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^3+6x^2+12x+8}{x^3+6x^2+12x}=\dfrac{\infty}{\infty}$

Se trata de un cociente de polinomios del mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales. Se ve dividiendo numerador y denominador por $x^3$.

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^3+6x^2+12x+8}{x^3+6x^2+12x} =\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\dfrac{6}{x}+\dfrac{12}{x^2}+\dfrac{8}{x^3}}{1+\dfrac{6}{x}+\dfrac{12}{x^2}}$

$=\dfrac{1+0+0+0}{1+0+0}=\dfrac{1}{1}=1$

El límite vale 1. Es lo esperable a la vista del apartado b): la diferencia entre las dos funciones es siempre 8, una cantidad fija que se vuelve insignificante frente a valores de la función que crecen sin tope.