Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Consideremos el peso de un adulto, $p$ (en kg), y su metabolismo basal, $m$ (en vatios). Un investigador nos proporciona el modelo siguiente:

$p(m) = 0{,}1 \cdot m^{1{,}5}, \qquad m \in (0, +\infty).$

a) Haga una gráfica esquemática de la función $p(m)$, indicando el dominio, el comportamiento en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales. [7 puntos]

b) Encuentre la función que da el metabolismo basal en función del peso, $m(p)$ (es decir, aísle la variable $m$). [3 puntos]

$\textbf{a) Haga una gráfica esquemática de la función } \boldsymbol{p(m)}\textbf{, indicando el dominio, el comportamiento en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales. [7 puntos]}$

El enunciado fija el dominio, $m\in(0,+\infty)$, que además es el único con sentido: el metabolismo basal es una cantidad positiva. Conviene reescribir la potencia con la raíz para ver mejor con qué se trabaja.

$p(m)=0{,}1\cdot m^{1{,}5}=0{,}1\cdot m^{3/2}=0{,}1\sqrt{m^3}$

Estudiamos los dos extremos del dominio. Ninguno pertenece a él, así que en los dos hay que calcular el límite.

$\lim_{m\to 0^+}0{,}1\,m^{3/2}=0{,}1\cdot 0=0$

$\lim_{m\to +\infty}0{,}1\,m^{3/2}=+\infty$

No hay asíntota horizontal. Para la monotonía derivamos la potencia.

$p'(m)=0{,}1\cdot\dfrac{3}{2}\,m^{1/2}=0{,}15\sqrt{m}$

La derivada no se anula en ningún punto del dominio, y para $m>0$ la raíz es positiva.

$p'(m)=0{,}15\sqrt{m}>0 \quad \text{para todo } m>0$

La función es creciente en todo su dominio y no decrece en ningún intervalo. Al no haber puntos críticos, no hay máximos ni mínimos locales.

Para dibujar tomamos algunos valores cómodos, los de cuadrados perfectos, que dan resultados exactos.

$m$ (W)	0	100	225	400	625 $p(m)$ (kg)	0	100	337,5	800	1562,5

$p(100)=0{,}1\cdot 100^{3/2}=0{,}1\cdot 1000=100$

$p(400)=0{,}1\cdot 400^{3/2}=0{,}1\cdot 8000=800$

La función tiene dominio $(0,+\infty)$, tiende a 0 por la izquierda y a $+\infty$ por la derecha, es creciente en todo el dominio y no presenta máximos ni mínimos locales. Su forma es la de una potencia de exponente mayor que 1: sale del origen y se va curvando hacia arriba.



$\textbf{b) Encuentre la función que da el metabolismo basal en función del peso, } \boldsymbol{m(p)}\textbf{ (es decir, aísle la variable } \boldsymbol{m}\textbf{). [3 puntos]}$

Partimos de la relación del enunciado y despejamos $m$ paso a paso.

$p=0{,}1\cdot m^{3/2} \Rightarrow m^{3/2}=\dfrac{p}{0{,}1}=10p$

La incógnita está elevada a $3/2$, de modo que para aislarla se elevan los dos miembros al exponente inverso, $2/3$.

$\left(m^{3/2}\right)^{2/3}=(10p)^{2/3} \Rightarrow m=(10p)^{2/3}$

Se puede dejar así o desarrollar la potencia del producto.

$m(p)=(10p)^{2/3}=10^{2/3}\cdot p^{2/3}\approx 4{,}64\,\sqrt[3]{p^2}$

Comprobamos con un valor del apartado a): a 100 kg de peso le correspondían 100 W.

$m(100)=(10\cdot 100)^{2/3}=1000^{2/3}=\left(10^3\right)^{2/3}=10^2=100$

La función inversa es $m(p)=(10p)^{2/3}\approx 4{,}64\,\sqrt[3]{p^2}$, y su dominio es también $(0,+\infty)$.