Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un camión transporta una carga de exactamente 12 metros cúbicos de volumen y, como máximo, un peso de 18 toneladas. Puede transportar:

— Arena, que pesa 1,6 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 80 € por metro cúbico.

— Grava, que pesa 1,8 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 100 € por metro cúbico.

— Ceniza, que pesa 0,5 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 25 € por metro cúbico.

Nos interesa calcular el precio más alto que podrá facturar en un viaje. Para hacerlo, se pide:

a) Plantee la maximización de este precio como un problema de programación lineal con dos variables. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de toneladas de cada material que se han de transportar para alcanzar el precio máximo, y determine también este precio máximo. [2 puntos]

$\textbf{a) Plantee la maximización de este precio como un problema de programación lineal con dos variables. [4 puntos]}$

Hay tres materiales, pero el volumen transportado ha de ser exactamente 12 metros cúbicos, y eso permite quedarse con dos incógnitas: la tercera cantidad se obtiene de las otras dos.

Llamamos $x$ a los metros cúbicos de arena e $y$ a los metros cúbicos de grava. Entonces los de ceniza son $12-x-y$.

$\text{Material}$	$\text{Volumen (m}^3)$	$\text{Peso (t)}$	$\text{Precio (€)}$ Arena	$x$	$1{,}6x$	$80x$ Grava	$y$	$1{,}8y$	$100y$ Ceniza	$12-x-y$	$0{,}5(12-x-y)$	$25(12-x-y)$

La función objetivo es el precio facturado, y hay que maximizarla.

$P(x,y)=80x+100y+25(12-x-y)$

$P(x,y)=80x+100y+300-25x-25y=55x+75y+300$

La restricción de peso es que el total no pase de 18 toneladas.

$1{,}6x+1{,}8y+0{,}5(12-x-y)\leq 18$

$1{,}6x+1{,}8y+6-0{,}5x-0{,}5y\leq 18 \Rightarrow 1{,}1x+1{,}3y\leq 12$

Las tres cantidades han de ser mayores o iguales que cero, y de la de ceniza sale una restricción más.

$x\geq 0;\quad y\geq 0;\quad 12-x-y\geq 0 \Rightarrow x+y\leq 12$

$\text{Maximizar } P(x,y)=55x+75y+300 \quad\text{sujeto a}\quad \begin{cases} 1{,}1x+1{,}3y\leq 12 \\ x+y\leq 12 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]}$

Dibujamos las dos rectas y hacemos una tabla de valores de cada una.

$1{,}1x+1{,}3y=12 \Rightarrow y=\dfrac{12-1{,}1x}{1{,}3}$

$x+y=12 \Rightarrow y=12-x$

$1{,}1x+1{,}3y=12$	$x+y=12$ $(0;\ 9{,}23)$	$(0;\ 12)$ $(10{,}91;\ 0)$	$(12;\ 0)$

La recta del peso queda por debajo de la del volumen en todo el primer cuadrante, así que la restricción $x+y\leq 12$ no llega a delimitar el recinto: se cumple siempre que se cumple la del peso. La región factible es la zona coloreada en azul, un triángulo.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$, que corresponde a cargar solo ceniza.

Vértice $A$: $\begin{cases} 1{,}1x+1{,}3y=12 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow y=\dfrac{12}{1{,}3}=\dfrac{120}{13}\approx 9{,}23 \Rightarrow A\left(0;\ \dfrac{120}{13}\right)$

Vértice $B$: $\begin{cases} 1{,}1x+1{,}3y=12 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow x=\dfrac{12}{1{,}1}=\dfrac{120}{11}\approx 10{,}91 \Rightarrow B\left(\dfrac{120}{11};\ 0\right)$

$\textbf{c) Calcule el número de toneladas de cada material que se han de transportar para alcanzar el precio máximo, y determine también este precio máximo. [2 puntos]}$

Valoramos la función precio en los tres vértices.

$O(0,0) \Rightarrow P=55\cdot 0+75\cdot 0+300=300$

$B\left(\dfrac{120}{11};\ 0\right) \Rightarrow P=55\cdot\dfrac{120}{11}+300=600+300=900$

$A\left(0;\ \dfrac{120}{13}\right) \Rightarrow P=75\cdot\dfrac{120}{13}+300=\dfrac{9000}{13}+300=\dfrac{12\,900}{13}\approx 992{,}31$

El máximo se alcanza en $A$, es decir, cargando solo grava y ceniza, sin arena. Los volúmenes son

$x=0 \ \text{m}^3 \ \text{de arena},\qquad y=\dfrac{120}{13}\approx 9{,}23 \ \text{m}^3 \ \text{de grava}$

$12-x-y=12-\dfrac{120}{13}=\dfrac{156-120}{13}=\dfrac{36}{13}\approx 2{,}77 \ \text{m}^3 \ \text{de ceniza}$

El enunciado pide toneladas, así que multiplicamos cada volumen por su densidad.

$\text{Grava}: 1{,}8\cdot\dfrac{120}{13}=\dfrac{216}{13}\approx 16{,}62 \ \text{t}$

$\text{Ceniza}: 0{,}5\cdot\dfrac{36}{13}=\dfrac{18}{13}\approx 1{,}38 \ \text{t}$

$\dfrac{216}{13}+\dfrac{18}{13}=\dfrac{234}{13}=18 \ \text{t}$

Hay que transportar 0 toneladas de arena, $216/13\approx 16{,}62$ toneladas de grava y $18/13\approx 1{,}38$ toneladas de ceniza, con lo que se agotan exactamente las 18 toneladas de peso y los 12 metros cúbicos de volumen. El precio máximo facturable es de $12\,900/13\approx 992{,}31$ €.