Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Queremos contratar una empresa de gestión de entre las siguientes:

— La empresa $A$ nos cobra 150 € de coste base, y adicionalmente 5 € por cada cliente y 3 € por cada factura que emite.

— La empresa $B$ nos cobra 300 € de coste base, 10 € por cada cliente, y no cobra por emitir facturas.

— La empresa $C$ nos cobra 100 € de coste base, no cobra en función del número de clientes, pero cobra 5 € por cada factura que emite.

a) Si el año pasado tuvimos 50 clientes y, en total, emitimos 180 facturas, ¿qué empresa nos habría costado menos contratar? [3 puntos]

De cara al año que viene, tenemos una previsión de $x$ clientes y $y$ facturas. Con esta previsión, la empresa $A$ nos costaría 1050 € y la empresa $B$ nos costaría 900 €.

b) Calcule el número de clientes $x$ y el número de facturas $y$ previstos. [5 puntos]

c) Con $x$ clientes y $y$ facturas, ¿cuánto nos costaría la empresa $C$? [2 puntos]

$\textbf{a) Si el año pasado tuvimos 50 clientes y, en total, emitimos 180 facturas, ¿qué empresa nos habría costado menos contratar? [3 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de clientes e $y$ al número de facturas emitidas. Con esa notación, el coste de cada empresa es una función de dos variables.

$\text{Empresa}$	$\text{Coste base}$	$\text{Por cliente}$	$\text{Por factura}$	$\text{Coste total}$ $A$	150	5	3	$150+5x+3y$ $B$	300	10	0	$300+10x$ $C$	100	0	5	$100+5y$

Sustituimos $x=50$ clientes e $y=180$ facturas en las tres expresiones.

$C_A=150+5\cdot 50+3\cdot 180=150+250+540=940 \ \text{€}$

$C_B=300+10\cdot 50=300+500=800 \ \text{€}$

$C_C=100+5\cdot 180=100+900=1000 \ \text{€}$

La más barata habría sido la empresa $B$, con 800 €, seguida de $A$ con 940 € y de $C$ con 1000 €.

$\textbf{b) Calcule el número de clientes } \boldsymbol{x}\textbf{ y el número de facturas } \boldsymbol{y}\textbf{ previstos. [5 puntos]}$

Ahora los costes son los datos y las incógnitas son $x$ e $y$. Cada empresa da una ecuación.

$\begin{cases} 150+5x+3y=1050 & \text{(empresa } A) \\ 300+10x=900 & \text{(empresa } B) \end{cases}$

La segunda ecuación solo lleva una incógnita, así que se despeja directamente.

$300+10x=900 \Rightarrow 10x=600 \Rightarrow x=60$

Sustituimos $x=60$ en la primera ecuación.

$150+5\cdot 60+3y=1050 \Rightarrow 150+300+3y=1050$

$3y=1050-450=600 \Rightarrow y=200$

Comprobamos los dos costes con esos valores.

$150+5\cdot 60+3\cdot 200=150+300+600=1050$ y $300+10\cdot 60=900$.

La previsión es de 60 clientes y 200 facturas.

$\textbf{c) Con } \boldsymbol{x}\textbf{ clientes y } \boldsymbol{y}\textbf{ facturas, ¿cuánto nos costaría la empresa } \boldsymbol{C}\textbf{? [2 puntos]}$

Se sustituyen los valores del apartado b) en la expresión del coste de la empresa $C$, que no depende del número de clientes.

$C_C=100+5y=100+5\cdot 200=100+1000=1100 \ \text{€}$

La empresa $C$ costaría 1100 €. Con esa previsión sería la más cara de las tres, porque el número de facturas es alto y $C$ es la que cobra más por cada una.