Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Una empresa que fabrica componentes electrónicos realiza un estudio sobre la vida útil de sus productos. Con una muestra aleatoria de 50 componentes electrónicos, el tiempo medio de vida útil es de 507 horas. Supongamos que el tiempo de vida útil sigue una distribución normal y que su desviación típica es conocida e igual a 150 horas.

a) Calcule un intervalo de confianza para la media poblacional de la vida útil de los componentes con un nivel de confianza del 75 %. [5 puntos]

b) Suponiendo ahora que la media poblacional es de $\mu = 500$ horas, ¿cuántas horas de vida útil tiene el 10 % de productos que menos vida útil tienen? [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule un intervalo de confianza para la media poblacional de la vida útil de los componentes con un nivel de confianza del 75 \%. [5 puntos]}$

La variable $X$ que mide la vida útil de un componente sigue una distribución normal con desviación típica conocida $\sigma=150$ horas y media $\mu$ desconocida. Para estimar $\mu$ se usa la media de la muestra, que en muestras de tamaño $n$ se distribuye así:

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{150}{\sqrt{50}}\approx 21{,}21 \ \text{horas}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Buscamos el valor crítico. Con una confianza del 75 % queda fuera el 25 %, repartido entre las dos colas.

$1-\alpha=0{,}75 \Rightarrow \alpha=0{,}25 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}125$

$P\left(Z\leq z_{\alpha/2}\right)=1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}875$

Se busca el valor 0,875 en el cuerpo de la tabla de la $N(0,1)$.

$z$	$P(Z\leq z)$ 1,14	0,8729 1,15	0,8749 1,16	0,8770

El valor más próximo a 0,875 es 0,8749, así que tomamos $z_{\alpha/2}=1{,}15$.

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}15\cdot 21{,}21\approx 24{,}40 \ \text{horas}$

Sustituimos la media de la muestra, $\overline{x}=507$ horas.

$IC=(507-24{,}40,\ 507+24{,}40)=(482{,}60,\ 531{,}40)$

Con una confianza del 75 %, la vida útil media de los componentes está entre 482,60 y 531,40 horas.



$\textbf{b) Suponiendo ahora que la media poblacional es de } \boldsymbol{\mu = 500}\textbf{ horas, ¿cuántas horas de vida útil tiene el 10 \% de productos que menos vida útil tienen? [5 puntos]}$

Ahora ya no se estima nada: se trabaja con la variable individual, no con la media de la muestra.

$X\sim N(500\,;\,150)$

El 10 % de productos que menos duran son los que están por debajo de un cierto valor $x_0$, que es lo que hay que calcular. La condición es que a su izquierda quede el 10 % de la distribución.

$P(X<x_0)=0{,}10$

Tipificamos y llamamos $z_0$ al valor tipificado.

$P\left(Z<\dfrac{x_0-500}{150}\right)=0{,}10 \Rightarrow P(Z<z_0)=0{,}10$

Al ser 0,10 menor que 0,5, el valor $z_0$ es negativo y la tabla no lo recoge. Se usa la simetría de la campana.

$P(Z<z_0)=0{,}10 \Rightarrow P(Z<-z_0)=1-0{,}10=0{,}90$

Buscamos 0,90 en el cuerpo de la tabla; el valor más próximo es 0,8997, que corresponde a 1,28.

$-z_0=1{,}28 \Rightarrow z_0=-1{,}28$

Deshacemos la tipificación para volver a las horas.

$z_0=\dfrac{x_0-500}{150}=-1{,}28 \Rightarrow x_0=500-1{,}28\cdot 150$

$x_0=500-192=308 \ \text{horas}$

El 10 % de productos con menos vida útil dura menos de 308 horas.